Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Без ограничения общности можно принять s0i=s02=l и положить s = sI2. Следуя процедуре, аналогичной использованной в работе [5], определим величину
тде знак правой части определяется знаком cos Ф. Наконец, введем в (9.6) величину x(t) и используем при этом интеграл движения (9.3), полагая Гх — Г. В результате придем к следующему дифференциальному уравнению относительно переменной x(t)\
= ± 2 ]/"[&*-f-«o(°>] [х+и\Щ [*+u|(0)]—{Г+(Асй/2)[*+«^(0)]}2,
(9.7)
OU, /---------------------------
— = 2«0ы1«2 cos Ф = do 2 у и2и2и2 (1 — sin2 Ф) , (9.6)
или после возведения в квадрат
(1/2) (dx/dt)2 + л (*) = О,
(9.8)
где
п(х) = 2[ — sx3~ [и2 (0) + su\ (0) + su2 (0) — (1/4) (Дсо)2] *2 —
— [su? (0) и\ (0) + и2 (0) и\ (0) + и2 (0) и2 (0) - [(Дсо)2/2] и\ (0)— ГДсо ] * + + Г2 + (Лсо/2)2 и} (0) + ГДши? (0) - и2 (0) и\ (0) и2 (0)}. (9.9)
Уравнение (9.8) описывает движение в потенциальном поле л(х), причем величина (1/2) (dx/dt)2 имеет смысл кинетической энергии этого движения. Область возможных значений х определяется условием и dx/dt обращается в нуль при я(л:)=0-
В частном случае Ли=0 и Г = 0 уравнению л(д:)=0 удовлетворяют три вещественных корня: хх — —su?Q(0), хг — — *4(0) и х3= = —ы^(0). Поэтому потенциальные кривые имеют вид, показанный на рис. 9.1 и 9.2 (начальные значения амплитуд упорядочены на
Рис. 9.1. Вид потенциальной функции л(*) при Ды = Г = 0 и s = — 1; х может осциллировать между Ыц (0) и (0)
Рис. 9.2. Вид потенциальной функции я(*) при Д(й=Г=0 и s=l; х может принимать неограниченно" большие значения в области
х>~и{ (0)
(взрывная неустойчивость)
рисунках произвольным образом). Следует обратить особое внимание на качественное различие в ходе этих кривых. При s = — 1 величины и2. одновременно положительны в области —u?(0)<Zx<C < и%(0), /=1,2, тогда как при s=l подобная область определяется условием д: > uj (0), j — 0, 1, 2.
При Г^=0 потенциальные кривые модифицируются (в частности, изменяются точки их пересечения с осью абсцисс). Однако при s = — 1 все три корня остаются вещественными, а это по-прежнему означает наличие осциллирующих решений, которые описывают колебания х в области, ограниченной двумя большими корнями. При s = 1 два корня могут быть комплексными, но неограниченный рост х при отрицательном я (я), как и раньше, указывает на возможность развития взрывной неустойчивости. Если начальное значение dx/dt отрицательно, то х сначала уменьшается, достигая минимума, равного наибольшему из корней уравнения л(х) =0, а затем начинает неограниченно возрастать.
При увеличении Дю и s=—1 корни Х\ и х% будут сближаться, т. е. роль эффекта нелинейного взаимодействия постепенно утратится. Если же s = l, то оба корня могут стать положительными и
63
тогда условия развития неустойчивости не будут выполнены. Нетрудно понять причину этих явлений, сравнивая характерное время нелинейного взаимодействия тВз с характерным временем Тдв. обусловленным наличием рассогласования частот. Естественно ожидать, что при ТвзЭ'Тдв рассогласование частот приведет к нарушению взаимодействия. Следовательно, влияние рассогласования частот можно преодолеть, уменьшая время взаимодействия, а для этого необходимо увеличивать начальные значения амплитуд. Эти рассуждения указывают на пороговый характер рассматриваемых эффектов.
Перейдем теперь от качественного рассмотрения к нахождению аналитического решения для амплитуд Uj. Для этого перепишем
(9.7) в следующем виде:
x(t)
t = + —— Г ---------—, (9.10)
- /2 J /=S(Ij
т. е. в форме эллиптического интеграла. Обращая этот интеграл, можно выразить х как функцию t в терминах эллиптических функций. Будем предполагать в дальнейшем, что уравнение п(х)=0 имеет корни хи х2 и лг3> упорядоченные так, что х\'^х2'^хъ (если эти корни вещественны). Тогда вместо (9.10) можно записать
/2 J /s(x — хг) (х — х2) (х — х3)
что дает при s = — 1
х (t) = (х2 — xj sn2 [(хх — хаУ'> t + k] + xlt (9.11)
где k = V хг — x.l!x1 — x3 —модуль эллиптической функции и Ij, = sn-1 — X^'lz], k).
Используя еще соотношения (9.5), получаем
«о(0 = V ыо(°) — х(0 ’ МО = — *(0 ; “г(0 =
= Yu${0)-x(t) , (9.12)
т. е. результат работы [1].
При s = 1 необходимо различать два случая. В первом из них все три корня Хи х2 и х3 вещественны и решение имеет вид
X (0 = (Х1 — x3)/sn2 [(/«, — t) (xL — хзу/>, k] + х3, (9.13)
где k = [(x2 — *3)/'(*i— л:3)],/2, а величина taо определяет время развития взрывной неустойчивости и может быть найдена из начального условия х(0)=0:
