Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вильхельмссон Х. -> "Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме" -> 35

Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.

Вильхельмссон Х., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме — М.: Энергоиздат, 1977. — 229 c.
Скачать (прямая ссылка): kogerentnoenelineynoevzaimodeystvie1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 107 >> Следующая


too = (хх — Хз)-,/* sn-1 {[(*з — Xj)lx3Y\ k). (9.14)

Во втором случае один из корней вещественный, а два других— комплексно сопряженные. Обозначив вещественный корень

64
хи запишем — я(л:) = (л:—хх) (х*—2 Ьх-\-с), где b и с — вещественны, причем с>№. Введя еще величину G = (х\ — 26х1 + с),/«, получим решение вида

x(t) = 2G/[l + сп (2 YGt + Ф, &)] —(G— Xj), (9.15)

где

ц= Г ds_t (916)

G J Т/ (1 —s2) (1 — ?2s2)

2 YG J У (1 — s2) (1 — *2s2)

Подставляя (9.13) и (9.15) в соотношения

«о(0 = V *(0 + “о(°) 5 ui(t) = V х {t)u\(Q) \ u2(t) =

= V x{t) + u\{Q) , (9.17)

находим решение для амплитуд Uj при различных знаках энергии волн [3].

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из приведенных решений. Если все начальные амплитуды равны и, кроме того, Г = Дш = 0, то при s = — 1 модуль эллиптической функции равен 1,

т. е. эта функция сводится к thx. При s = l амплитуды Uj(i) сог-

ласно (9.17) остаются равными при всех t, причем

ii/(0 = l/[«/-1(O)-q, (9-18)

откуда видно, что в этом случае

too=1/Uj(0).

Используя решения для амплитуд и уравнение (9.3), нетрудно исследовать также временную зависимость фазы Ф. При s = — 1 и Дсо = 0 эта зависимость имеет осциллирующий характер, так как в процессе взаимодействия этФ не изменяет знак. Если одновременно До> = 0 и Г = 0, то квадраты двух амплитуд могут принимать минимальное значение, равное нулю. При этом производная фазы стремится к бесконечности, а производная амплитуды претерпевает разрыв. Если же амплитуды могут принимать отрицательные значения, то фазу Ф можно считать равной нулю в течение всего времени взаимодействия. Наконец, при взрывной неустойчивости фаза асимптотически стремится к нулю за время развития неустойчивости tx. Такое характерное поведение фазы при взрывной неустойчивости известно как эффект локализации фазы ,[2, 6, 7].

Если Ф(0) =0, то из (9.3) следует, что Г = 0 и, следовательно, фаза Ф остается равной нулю в течение всего времени нелинейного взаимодействия. Это соответствует максимальной скорости раз-

3—1974

65
вития взрывной неустойчивости. Если же Ф (0)^=0, то в процессе взаимодействия фаза монотонно уменьшается до нуля, что видно как из соотношения (9.3) при Аю = 0, так и из уравнения для производной

аФ/д/ = -Г(1/и§ + 1/и? + 1/и|). (9.19)

Эти качественные выводы хорошо согласуются с данными численного анализа, выполненного в работе [7]. На рис. 9.3 приведены

временные зависимости величины x = u2j—И/(0) при различном выборе начальных фаз. Как видно, время развития взрывной не-

Рис. 9.3. Эффект локализации фазы и взрывное нарастание амплитуды при s=l и различных начальных значениях фазы Ф(0). Начальные значения амплитуд: Ир(О) =0,6; «i(0) =0,09; «2(0)=0,85

Рис. 9.4. Зависимость вероятностного распределения фаз от времени. В начальный момент все фазы равновероятны

Рис. 9.5. Взаимодействие трех волн с энергиями одного знака на фазовой плоскости (s——1,

«=«/)

Рис. 9.6. Взрывная неустойчивость на фазовой

ПЛОСКОСТИ (5=1)

66
устойчивости возрастает с увеличением отклонения начальной фазы от нуля. На рис. 9.4 показано вероятностное распределение фаз в различные моменты времени t при условии, что в начальный момент все фазы равновероятны. Такая картина описывает эволюцию статистического ансамбля трехволновых систем, плотность которых в начальный момент не зависит от Ф.

При классификации дифференциальных уравнений по наличию сингулярных точек и неустойчивых решений [8] часто используют метод фазовой плоскости [9]. В качестве независимой переменной выбирают амплитуду п и строят зависимость производной от п (в этом смысле фазовую плоскость можно рассматривать как вырожденное фазовое пространство, используемое в статистической теории многочастичных систем). Характерной особенностью периодических решений (s = — 1) является замкнутость соответствующих им кривых на фазовой плоскости (рис. 9.5). Пример противоположной неустойчивой ситуации (s=l) показан на рис. 9.6 (начальная фаза выбрана так, что амплитуда сначала убывает, а затем начинает возрастать).

Пространственно-временная эволюция

До сих пор речь шла только о временной эволюции. Аналогично можно рассмотреть пространственную эволюцию системы, находящейся в стационарном состоянии. В общем случае необходимо учитывать как временную, так и пространственную эволюцию. Решение задачи в такой постановке дано в работе [10], где приведены как численные, так и аналитические результаты, полученные с использованием метода обратной задачи рассеяния. В частности, найдено строгое аналитическое выражение для коэффициента отражения плазмы при стимулированном рассеянии электромагнитных волн. Ниже мы коснемся этих проблем и, кроме того, рассмотрим нелинейные эффекты высшего порядка, учет которых необходим при описании процесса нелинейного взаимодействия в области t^tn.
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 107 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed