Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
(10.3), можно найти также следующее полезное асимптотическое выражение:
tg [Ф (^оо) + 012] + tg [Ф(и + 0О2] + tg [Ф (/„) + 0О1] = 0. (10.4)
Слагаемые VjUj и Лю оказывают большое влияние на пороговые значения амплитуд и время взрыва tx. Сам факт существования порога при Vj^O вытекает из того, что характер временной эволюции амплитуды Uj определяется соотношением нелинейного и диссипативного слагаемых; если в какой-то момент времени первое из них превышает второе, то в дальнейшем будет происходить увеличение амплитуды, доминирующая роль первого слагаемого еще более усилится и в конечном счете разовьется взрывная не-
(10.2)
/о (too) = {cos [Ф (4о) + 0О2] cos [Ф (/оо) + OoJr1;
/l (too) = {cos [Ф (too) + 0О1] COS [Ф (too) + 012]}_1; (J 0-3)
fl (too) = {cos [Ф (too) + 0O2] COS [Ф (too) + 012]}-1.
69
устойчивость. Прямо противоположная картина наблюдается тогда, когда в начальный момент доминирует слагаемое VjUj.
Влияние Дсо на динамику процесса нелинейного взаимодействия осуществляется через фазу Ф, в которой появляется дополнительное слагаемое Дсоt. Если за характерное время взаимодействия это слагаемое способно привести к изменению знака соз(Ф + 0ы), то взрывная неустойчивость развиваться не будет. Используя время взрыва при Дсо = 0 в качестве меры характерного времени взаимодействия, можно оценить пороговое значение Дсо:
Дсо < яДоо. (10.5)
Для исследования зависимости tx от Vj, Дсо и Uj(0) полезно ввести подстановку
tij = kuf, t' = (1/й) t, (Ю.6)
с помощью которой система (10.1) записывается в переменных tij я t', но при этом vj и Дсо умножаются на k. Рассматривая вначале случай Vj = Aco = 0, видим, что при увеличении начального значения амплитуды Uj в k раз время взрыва уменьшается также в k раз. При vj и Дсо, отличных от нуля, такое же уменьшение достигается при одновременном увеличении Vj и Дсо в k раз.
Если все vj = v и Дсо пренебрежимо мало, то с помощью подстановки
Uj = Ujexp(vt)\ t = (1/v)[1—ехр(—v/)] (Ю.7)
можно получить систему (10.1) относительно переменных Uj и т, в которой, однако, слагаемые vUj отсутствуют. Обозначая время взрыва для этой системы too, получаем
= — (l/v) In (1 — vTco). (10.8)
Это соотношение описывает влияние частоты v на время развития неустойчивости, а также дает критическое значение
vc= 1/Тоо, (Ю.9)
начиная с которого неустойчивые решения уже невозможны.
Когда все Vj различны, задача намного труднее в математическом отношении. Но при дополнительном предположении 0,j = O анализ сильно облегчается благодаря существованию интеграла движения, который при Дсо = 0 имеет вид
u0uxu2этФ = Гехр[—(v0 + vx -f v2) /]. (10.10)
В другом идеализированном случае, когда все v3- равны, a 0t-j различны, существует интеграл движения вида [«2sin(0O2 —0О1) +«2sin(0ol —012)-f фт(012 —0o2)]exp(2v/). (10,11)
Идеализированность примеров, описываемых соотношениями (10.10) и (10.11), связана с тем, что углы 0г3- и частоты v3-, строго говоря, нельзя выбирать независимо. Именно вследствие зависимости между 0,-j и Vj устойчивый режим с 0ij = O, ±я может перейти в неустойчивый [2], когда все 0г-3- попадают в одну полуплоскость (рис. 10.1,а). Результаты численного анализа приведены на
70
иог
Рис. 10.1. Локализация комплексных векторов exp(i0^) в' одной полуплоскости (а), а' также эволюция амплитуд взрывного типа и локализация фаз при 0;,-, изображенных на рис. 10.1, а для Vj = 0,01, Дш= = 0 (б)
рис. 10.1, б. Если же какие-либо два из углов Qtj отличаются в точности на л (рис. 10.2, а), то получается предельно устойчивое решение, пример которого показан на рис. 10.2, б. Наконец, при
ui
Рис. 10.2. Конфигурация векторов exp(i0, j) в случае, когда, два угла 0г7- q отличаются в точности на я (а), и вид решения при фазовых углах, изображенных на рис. 10.2, а для Vj = 0,01 (б)
1° lL U<L
10
6
15
произвольном расположении углов в разных полуплоскостях (рис. 10.3, а) амплитуды затухают, но фазы могут испытывать сильные осцилляции (рис. 10.3, б).
71
Рис. 10.3. Локализация комплексных векторов «xp(i0;j) в различных полуплоскостях (а) и вид решения при фазовых углах, изображенных на рис. 10.3, а, для Vj = 0,01 (б)
10
б
15
Решение для нестационарной среды
Приведенный выше критерий устойчивости допускает обобщение на случай зависящих от времени величин vj(t) и Сц(0 [3]. При этом система (10.1) приобретает вид
