Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
о L о
(11.16)
76
hj (0=1*--------------(И--Vf) (##) [(1 - tltaWY, (1 1 .2)
ц = (l/3)(v0 + v1 + v2) (11.3)
и 1<а<2 [2]. Если амплитуды одинаковы по порядку величины, то для простоты можно положить а(/)=ц. Однако тогда, когда амплитуды существенно различны, лучшие результаты получаются при несколько ином выборе o(t) [3]:
<7(0 = (v„M0 + VjUi 4- v2u2)/(u0 + uL + «а). (11.4)
Сравнительный анализ численных результатов, полученных на основе использования решения (11.1а) и исходной системы (10.1),
выполнен в работе [2]. На рис. 11.1, а, б показаны результаты
Рис. 11.1. Численное решение системы (10.1) при Дш = 0; 012=—я+я/60; 002= =—я + я/100; 0О1 = тс/100; v0=0,05; Vj = 0,02; V2=0,02 (а) и решение для того же случая, что и на рис. 11.1, а, но при ст(/)=ц и а=1,5 (б)
расчетов для Дсо = 0 при условии, что углы 0г-3- слегка отличаются от л [расчеты по (11.1а) проводились при а(/)=ц].
Решение для нестационарной среды
Форма решения (11.1) указывает на возможность его использования и тогда, когда частоты vj являются функциями времени. К такому случаю можно свести также пример зависящих от времени коэффициентов связи. Это достигается с помощью преобразований
gii(t)= \сати(0) | ;
г],- (t) = — (d/dt) In | gn (t) gjk (t) I1/, t
Vj (t) = Uj (t) exp
-j-r\i(t')dt'
(11.5)
Отметим, что причины возникновения временной зависимости коэффициентов связи могут быть весьма разнообразными: неста-ционарность основных параметров плазмы, влияние волны на среду, нелинейности высших порядков и т. п., так что получение решения для нестационарной среды представляет значительный интерес.
77
Асимптотические разложения
При 0jj = O решение можно выразить в виде функции от Ф:
и} (t) = exp (— Vjt) f 2Г j exp L о
Используя затем асимптотическое решение в окрестности времени развития взрывной неустойчивости
Uj (t) = kj exp (— (хОДехр (— fji) — exp (— , (11.7)
можно найти ctg® и проинтегрировать (11.6) по частям. В результате получим более точное решение Uj(t). Продолжая этот процесс, можно построить асимптотическое разложение, которое сводится к точному решению при Vj = |o, [2].
Частные случаи
Ряд частных случаев взаимодействия волн с учетом затухания рассмотрен в работах [4, 5]. В первой из них показано, что система всегда неустойчива, если затухает лишь одна волна и все начальные амплитуды равны. Аналогичный вывод получен и в работе [6], где начальное значение амплитуды затухающей волны полагали равным нулю. Тогда Г = 0, а амплитуды незатухающих волн удовлетворяют соотношению
и20 — и\ — с2.
С помощью замены
и0 = с ch иг = с sh ij); и2 = dijyd^ получаем уравнение
+ vdtydt — (l/2)c2sh2\j> = 0 (11.8)
с начальными условиями
i|) (0) = ch-1 [ы0 (0)/с]; (5-ф (0)/dt = 0.
В общем случае это уравнение решить не удается. Однако при v/u0(0)3>1 [ыо(0)>Ы](0)] можно показать, что учет затухания приводит к увеличению времени развития взрывной неустойчивости в отношении v/«o(0).
Задачи
11.1. Система связанных уравнений, описывающая параметрическое взаимодействие, может иметь неустойчивый характер в том смысле, что лишь одна из волн является затухающей (см. гл. 2). Сохраняется ли этот характер в приближении (10.1), если а) сг(?)=|х; б) a(t) =2v3Uj/2Uj?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wilhelmsson Н. — Phys. Scripta, 1970, v. 2, p. 113.
2. Weiland J. — J. Plasma Phys., 1972, v. 7, p. 375.
3. Weiland J. — Phys. Scripta, 1973, v. 7, p. 230.
4. Jungwirt K. — Czechosl. J. Phys., 1972, v. B22, p. 756.
5. Fuchs V. — J. Math. Phys., 1975, v. 16, p. 1388.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Wilhelmsson H. — Phys. Rev., 1972, v. A6, p. 1973.
Nakach R., Wilhelmsson H. — Ibid., 1976, v. A14, p. 451.
[(Vy- — vft — vz) ctg®d* + «2(0) I U. (11.6)
78
ГЛАВА 12
ВЛИЯНИЕ ЗАТУХАНИЯ НА ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С ЭНЕРГИЯМИ ОДНОГО ЗНАКА
Для учета затухания при взаимодействии волн с энергиями одного знака метод, изложенный в предыдущей главе, непригоден из-за асимметрии исходной системы уравнений, обусловленной тем, что коэффициент связи для волны с наибольшей частотой противоположен по знаку коэффициентам остальных волн. В результате амплитуда одной волны может оказаться большой как раз в тот момент, когда две другие амплитуды малы, а это означает неадекватность рассматриваемой ситуации представлению об усредненном затухании. Метод, предназначенный специально для взаимодействия волн с энергиями одного знака, предложен в работе [1].
