Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
[w COS у t Sin у j \ lw sin у -f- COS у j = ——~----- Sin V-f-W COS 9.
После простых преобразований находим /(7=л+1)(/ + л + Т)/4+1 (cos 0) =
= V (I— tn -f-1) (/-f- m -f- 1) cos 0 Pm„ (cos 0) -f-+ [ /(/ — rn) (/ — m -f 1) Plm +1, „ (cos 0) -f
~Ь Vm~) U m “f" О Р1Щ — i, n (cos 0)], (7)
Другие соотношения получаются путем двукратного применения соотношения (3) или (4):
/(/_ „)(/_„_{_ !)/>< +1 (cos 0) =
= / (I — rn) (I — т-\- 1) COS2 у Рт-\-1, п+ I (COS 0)-f
-\-lV O'—т -f- 1) (/ -f- tn + 1) sin 0/4, Л+ 1 (cos 0) —
— /(/+/ГС) (/-f-/И-f 1) Sin2 у Pm - 1, /1+ 1 (cos 0) (8)
и
У (J~\~ я) (/ -(- Я -f- 1) Prim (cos 0)^
= — /0— tn) (/— OT-f 1) sin2 у Pm+1, л — i (cos 0)-f -)-/}/(/— /я -j- 1)(/-{- /я -f- 1) Sin bplm n__ i (cos 0)-{-
V (^H~ (^ H~ "f" COs2 "2" Pm — 1, n — 1 (cos 0). (9)
§5] ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ Р^л (г) 159
Дальнейшие соотношения, связывающие функции Plmn{z) с разными
значениями /, получаем, рассмотрев два разложения:
1 / в , . , о у-л
w cos г Sin — X
/ (/ — «)!(/ + п)\ \ 2 2
i
\/ I¦ - 9 I 9 У+л V
х (Ш81П Y+cosy) = 2 7
м.__ » *
Ртп (cos 9)
t , (I.....т)\(1 + т)\
О ... О \s—г w cos Sin — X
У (s —г)! (s + г)! \ 2 2
х (tosiny-[-cos yji+r= 2
* + ' VI ^(cos9) s-g
--- ¦- • Я2Г
/ (s — q)\(s + q)\
q — a
Перемножая эти равенства, получаем
/ (/ — «)! (/ + я)! (s — г)! (s + г)! V 2
\/ 11 ¦ 9 I 9 У+5+/1+г
X \1и» Sin Y COS у j =
= ly [ У (cos 9) Pq — m, г (cos 9) l,+,-0
V {I — m)\ (I -)- tii)\ (s— qm)\ (sq— m)!J
q = — I — s m
где L = max( — /, q — s), 7W = min(/, s-{-<?). Применяя клевой части этого равенства разложение (3) п. 1 и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях w, находим
м
P*9+V(COS0)= 2 B%rPlmn (COS 6) Рд^т, г (cos 6), (10)
т = L
где L и М имеют указанный выше смысл, и
¦=Vx
is _ п/ (/ — я)! (/ + «)!
А
nr v (/ + s — n — г)! (I -)- s -)- n -)- r)! ’
В
is _ ЛГ (s — r) 1 (s + r)\ (/ + s — q) 1 (/ + s + q)\ mqr \ (I — m)\ (I + m)\ (s— q m)\(s-\-q— tn)\'
Для получения дальнейших формул воспользуемся доказанным в п. 1 § 4 равенством
2 ( ~ ^ Ртп (C0S Pnh (C0S = bmk’
п = —I
Умножим обе части равенства (10) на (— l)A_/lP^JAl*r и просуммируем
160 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. III
получающиеся при этом соотношения по п от — / до I. Мы получим, что при L sg; k sg: М
1 vi (— l)*~n^ft(cos8) Pi+A r(cos0)
p;_„,,(cos#>= ' 2 ——¦, оо
bQr n = - I Anr
а при остальных k эта сумма равна нулю.
Укажем в заключение еще одно выражание для P^0(cos 0), где / —
целое число. Имеет место тождество
е I . . О \1(. . в , О V i( д . ,да2+] . Л1
w cos у-р i sin y] U®sin -2“+ cos Yj = “Bw f cos 0 -f- г — sin 0) .
Применив к обеим частям этого тождества соотношение (3) п. 1, получим
' l\Plm o(cos0)
wL т--
t V{l-m)\{l + m)\
2 ___________ III
^ 1/ n-7~~T1-Г Pl -±(cos 20)®2
— — s
Раскроем далее скобки в ' j и примем но внимание выраже-
ние (6) из п. 5 § 3 для Р2 i (cos 20). Сравнивая коэффициенты при
s’ ~ 2~
одинаковых степенях w, получим
Рт0 (COS 0) = У 'e ,sjn_2 М6 (12)
* = -4 (у+«)•«! (у-s-и^!
Отсюда в силу формулы (9) п. 9 § 4 имеем
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ р1тп (г)
161
3. Случай фиксированных тип. Чтобы вывести производящую функцию для Pm„(cos0) при фиксированных значениях тип, нам понадобится новое интегральное представление для этих функций. Оно получается из интегрального представления (4) п. 4 § 3 путем замены переменной интегрирования. Именно, запишем это интегральное представление в виде
