Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 71

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 241 >> Следующая


\ 2 1 2j 1 2У (I — n)\{l + n— 1)!

. . / 0 ... 0 W-n+l /, ,0| 0 V + n-1

x Ы cosy-f- i sin Y [iwsin ~2—г cos “2"j =

I

= у
156

ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА

!Гл. ill

Левая часть этого равенства является линейной комбинацией выражений того же типа, что и левая часть равенства (3), с той лишь разницей, что в одном слагаемом п заменено на п-\- 1, а в другом — на п—1. Применяя к этим выражениям разложение (3) и сравнивая коэффициенты при wl~m, получаем

Мы снова вывели, таким образом, формулу (11) из п. 4 § 4.

Для того чтобы вывести формулу (10) из п. 4 § 4, умножим обе части разложения (3) на соответствующие части тождества-

Выражение в квадратных скобках является линейной комбинацией выражений, аналогичных левой части разложения (3) с той лишь разницей, что в некоторых слагаемых п заменено на л—1 или ti\-1. Разлагая эти выражения по формуле (3) и сравнивая коэффициенты при wl~m, приходим к равенству

Заменяя здесь cos 0 на 2, получаем формулу (10) из п. 4 § 4.

2. Рекуррентные формулы при различных значениях I. С помощью производящей функции, выведенной в предыдущем пункте.

% [Р‘тп (COS 6)] = 4 [/(/_«)(/ + «+ 1) Р‘т „ + , (COS 0) +

V (J п) — Я+ ^)Рт,п — 1 (cos 9)]. (7)

Иными словами,

_____ dpi (z) • ___________

/ l_**_J^=_J.[/(/_„)(/+„+l)p?I1B+1(*)+

+ ,/ (/+ ti) (/ - я + 1) Plm, п - 1 (г)]. (70

0 ( 0 I • • • • 0 п • 0 I 0 \

COS '2 COS 2- I sin Y — 1 Sln 2' (iw Sln “Г cos ~2 = w

и продифференцируем по да’. Мы получим

t{m — ti cos ®)Plmn (cos 9) =

sin 0

[ Vd~\~ n) d — n~\~ 1) л+ 1 (cos 0) —

— /(/—«)(/+«+!) Plm, n + 1 (COS 0)]. (8)
§ 51 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ Р1тп (г) 157

легко получить рекуррентные формулы, связывающие функции Р1 (z) с различными значениями /. Например, продифференцировав обе части разложения (3) из п. 1 по да, получим

1 Г// Ч 9 / 9 I , • 9 у-"-1 w

—, ----- (/ — Я) COS да cos -=—[-i sin X

/(/ — «)!(/ + я)! I 2 1 2 1 2)

X (to sin y-f- cos у)/+Л + ^ O' + 'O sin у iw cos у + / 5‘п_|гУ "X

0 I OW+Л-П Y (Z — m)(cos0)

X /®SinT4-COST = 7 . да' m \ (1)

\ 2 21 J Li V (/ —m)!(/ + m)!

m «= — /

Применим к обоим слагаемым в левой части этого равенства разложение (3) п, 1 (с заменой I на I------и сравним коэффициенты при

одинаковых степенях да:

;/ I—ti cos Р /_ (cos 0)4-

2 m + i/u, 'И-'/а

- j - / I-7 / 4- Я sin Р ' “ (cos 9) = |// — т /4л (cos 0). (2)

I m-f-i/з. л—-V2

Затем, умножив обе части равенства (3) из п. 1 на выражение

0 ... 0 да cos -у 1 sin -j, получим

1 ( 0 , . . 0 \*-л+1 /. , 0 , 0 У+»

да cos 1 sm у rasiny-f-cos-

/(/_л)! (/ + л)! \ 2 ' 2/ I— 2 1 2,

I

а А

„I— т

-1

cos у Plmn (cos 0) да' m +1 + i sin у Plmn (cos 0) w1'

y (l-m)\ (/ + «)!

Левая часть этого равенства имеет тот же вид, что и левая часть равенства (3) с заменой / на / —]—и я на я------Сравнивая коэф-

фициенты при да*~т+1, находим

//-я+1 Щ,, V, (COS 0) =

= / 1 cos у Рил (cos 0) + г //+яг sin у/4-1. л (cos в). (3)

Аналогично, умножая обе части равенства (3) из п. 1 на выражение

б б iw sin у -f- cos у, получаем

//TH^^.. + x/i(COS0) =

= 1 у l~ m-t- 1 sin у /4л(cos 0) + //-f-ОТ COS у/4- l,л (cos 0).

(4)
158 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III

Из равенств (3) и (4) непосредственно следует, что

— i //— Л+1 Sin Yptm + 42,n-i/2(C0S 6) +

+ //+ Я -f 1 COS у Р1т+*/2, /.+!/> ^C0S d'>=V Z+ т + 1 Р‘тп (C0S 6)-

(5)

И

VI— я + 1 cos у 1/а (cos 0) —

— I // + я+1 sin у /ym+_1/4i,l+1/2(cos б) =

= у 1 (cos 6). (6)

Связь между функциями ^„(cosO), верхние индексы которых отличаются на 1, выводится точно так же. Например, умножим обе части равенства (3) из п. 1 на соответствующие части тождества

/ 0 , . . в \ / J в I 9 \ *'(™2 + 1) . О I о
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed