Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
H3=iA3.
Сделав это и собрав коэффициенты при Н+ и Н_ в правой части, получим соотношение
Т(go) (Я+ + Ю = e~if (cos ф — г sin ф cos 0) Н+ Т(g„) +
-j- e‘v (cos ф —{— /sinф cos 0) H_T(§•„) —{— 2sinф sin QH3T(g0),
где g0 = g(<f, 0, ф).
Применим преобразования, стоящие в обеих частях равенства, к вектору f„ канонического базиса и сравним коэффициенты при fm в
§41 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Р* (г) 153
тп ' ’
полученных выражениях. Мы имеем 7'feo) fn=X^nC§o) fm>
т
H+f„= — \/(I— n)(l-\-n-\- l)f„+i,
HJn — — V (!¦ ~b ti) (I — w —{— 1) f„_ls
Учитывая эти соотношения, а также выражение матричных элементов 4л (go) через углы Эйлера ср, 0, ф, получаем
Y (* ~ Я) (/+ Я -f 1) е ^р1т, л+ 1 (C0s 0) +
+ ^(/ + л)(/-я+1) е‘+ Р‘т , (cos 0) ==
= V(f— /га -|- 1) (l-\-m) (cos i|> — i sin <|> cos в) Plm^\, „ (cos 0) -|-+ V(L + m + 1) (I — m) (cos t + i sin ф cos 0) Pa _ь i, л (cos 0) —
— 2m sin ф sin 0Plmn (cos 6).
Это paiencTEO имеет место при всех значениях Ф. Положим в нем егф_|_е-|> . , е>ф_е-гф
cos <|> =---^---и sin <{) = •--g— и приравняем коэффициенты при
е*Ф и е-<Ф в левых и правых частях. Мы получим искомые рекуррентные формулы
/(/+Я)(/ — Я+ l)Pm,n-i (cos 0) =~Y(l— т-\-\)(1-\-т) X
X (1 — cos 0) P^_i,„(cos0)+ ~ /(/+/«+ 1)(/ — w)X
x (1 + cos6)P^ + I n(cos0) + /wi sin 0P^„(cos0) (2)
И
/(7^н7+„+1)„ + , (cos 0) = yl/(7^ + 1) (l+m) X X (1 + COS 0) Pm - I, „ (COS 0) 4- .J V(l+ m + ]) O' — W) X
x (1 — COS 0) Pm+ I, „ (cos 0) — /га/ sin 0Pm„ (cos 0). (3)
Эти формулы связывают три соседних элемента я-го столбца с элементами (я—1)-го или (я-|-1)-го столбца. Воспользовавшись соотношениями симметрии для функций Plmn(z), получаем аналогичные формулы, связывающие три соседних элемента строки с элементом выше или ниже расположенной строки. Предоставляем читателю выписать эти формулы.
Если в равенстве (1) взять х = (0, 1, 0), то получатся те же самые рекуррентные формулы. При х = (0, 0, 1) получаем формулы из п. 4.
154
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 5. Производящие функции для Plmn (z)
[Гл. III
В этом параграфе будет указан новый способ вывода рекуррентных формул, основанный на использовании производящих функций. Функция f(z, h) называется производящей для функций срА (z), если ее разложение по степеням h имеет вид
Мы рассмотрим два вида производящих функций для Plm (z). Один из них дает функции Plmn (z) с фиксированными значениями / и я, а второй — с фиксированными значениями тип.
1. Случай фиксированных /ига. Чтобы получить производящую функцию для Plmn(z) при фиксированных значениях / и я, перепишем равенство (4) п. 4 § 3 в виде
ОО
f{z, h)= V аkyk(z)hk.
k = 0
Р‘тп(с OS0)
Эта фор]
фициентами Фурье для
X
Таким образом,
V (/ — я)! (/ + я)!
О 4 . . 0
cos еz -j-г sm е
? 51 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ Plmn(z) 155
Умножив обе части этого равенства на е‘*!р и заменив е‘? на w, по-
лучим
, ч 1 / 0 , . . 0 \1 — П j . О , оу + Л
fW=/77=wTWrcos2+‘smT) rsm2+cos2) =
= У , Р-"(С08а) (В)
Итак, F(w) является производящей функцией для Pmn(cos6).
Из равенства (3) можно вывести некоторые любопытные тождества для функций Pjn„(cos0). Например, полагая w= 1, получаем
i
(4)
(4')
(5)
Р‘тп (cos 9) ____________еМ_______
Полагая же w=—1, получаем
^ (— \)п~т Plmn (cos 0) ^ е-м
V(l~m)\ (/ + ш)! _ V (I— п)\ (I -)- я)! ’
Наконец, полагая я=0 и w = ±i, имеем
^ I— mPlm9 (cos 0) C0SJ q
m^ti VV=m)\(l + m)l ~~й~'
Принимая во внимание равенство (9) из п. 9 § 3, можно переписать формулу (5) в следующем виде:
\l (i l)WPr(cos°) _cos*0
Zt (l + m)\ ~ l\ ¦ ( J
m — — I
Покажем теперь, как вывести из разложения (3) рекуррентные формулы для функций P^n(cos9). Продифференцировав обе части этого разложения по 0, получим
I yjzrjt , 0 0 w-n-l
--- . W COS -к—р I Sin x
2 |Л(/_я—1)! (/ + «)! \ 2 I 2 j
\, I. . 0 I 0\* + ™+! . i УI -)- tl . .
x \iw sin -S--4- COS -s- -A------ , x
