Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 73

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 241 >> Следующая


Plmn (cos б)=2^ У'

(l-m) 1 (/ + «)¦ хх (/_ «)!(/ + «)! А

X <^> cos 0 + у sin 0 -f- ^ 4)J {it sin ~—|— cos "TfV tm n ldt

!-j 0 . 0 v2”

I COS 0 у Sin О (Г -j- r ' ¦ "¦

\t 1=1

и предположим, что m'^n'SsО1). В силу теоремы Коши мы можем заменить путь интегрирования контуром Г': \ t\=a, где а^>1. Сделаем теперь замену переменной

W = cos 0 -f- ~ sin 0 (t -f- t *).

Когда t пробегает контур Г', переменная w пробегает контур Г", охватывающий отрезок [е~‘е, е‘е], против часовой стрелки. Переменная t однозначно определяется переменной w, если разрезать плоскость w вдоль отрезка [е~‘е, е,е].

Именно, мы имеем

,___ w — cos 0 -)- у w2 — 2w cos 0 -)- 1 t, ч

i Т П , (1)

I sin 0

где знак корня выбирается из условия |?|^>1.

Не теряя общности, можно считать, что контур Г" — это окружность \w\ = b, где b^> 1.

После замены переменной получаем

pi rcos9)_ 1 -шУ(1-т)\(1 + т)\

Ртп (COS 0) 2я. у X

(/ —п)! (/ + я)!

х & (cos 1 + it sin If , dw , - (2)

\ z 1 i у w2 — 2w cos 0 —|- 1

где t задается формулой (1), а знак корня выбран так, что |?|^>1.

]) Это ограничение несущественно, поскольку в силу соотношений симметрии (см. п. 6 § 3),

р*тп (cos 9) = Phm (cos 9) = Р1- т, - п (cos 9) = п, - т (cos 9)
162 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Ill

В частности, если т = п = 0, то получаем интегральное представление многочленов Лежандра:

Р[ (cos 8) = p-j-r (? (2')

2nt j Y w2 — 2w cos 0 -)- 1 Г" '

Чтобы получить производящую функцию для Pmn(cosft), сделаем в интеграле (2) подстановку w=\jh и используем формулы Коши для коэффициентов ряда Тейлора (см. [35]):

! 0 0 \2п ¦S. Г~П-------мл I----ГГ " 1 tt sin “о" + cos ТГ

X —," i 1 ",ii pmn(cos в)h‘~n =--------------1 2 Jd- , (3)

“ У m)l (/-)-ш)! Y 1—2Л cos 0-1- h2

I ~n '

где

,__ 1 — h cos 0 -)- Y 1 — 2Л cos 0 4- hr ,...

i h sin 0 ’ ' '

и знак корня выбран так, что |/|^>1.

Если п — целое отрицательное число, т^\п\, то получаем сходную формулу:

¦^2, гг,------I—гг tmin (t cos-4- +1 sin4-')

S ~ ¦I(cos 9)h’+n=— —- -—>

Ld У (l m)! (I -)- m)l mn^ ’ Y\— 2/?cosO + A2

I = — n ' 1

(5)

где t имеет то же самое значение.

Формулы (3) и (5) сохраняют силу и в случае, когда I — полу-целое число, с той лишь разницей, что суммирование надо вести не по целым, а по полуцелым значениям I.

Особенно простой вид принимает формула (3) при т = п = 0. В этом случае получаем производящую функцию для многочленов Лежандра:

ОО

2 Р, (COS 0) hl = - 1 ——, (6)

“0 у 1 — 2л cos 0 -j- h

Эта формула часто принимается за определение многочленов Лежандра. Последние называют поэтому также коэффициентами Лежандра. При п = 0 получаем, используя равенство

Р,“м=«”/р|2pUm,

производящую функцию для присоединенных функций Лежандра:

СО

У 7. ¦ р? (cos 0 )hl = — {it)m =, (7)

(/ + т)! /1—2Acos0 + A2 w

/. = О r 1

где / задается формулой (4).
§5! ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ Р1тп (г) 163

4. Интегральные представления Дирихле—Мерфи. В предыдущем пункте было доказано, что

P'(“s#)=2^§Fr=fefT7-' 0)

Г" '

где Г" — окружность радиуса а^>1 с центром в начале координат и | cos 9 — гг-f-]/1—2z cosS -f- г21 sin 9- (2)

Функция ]/1 — 2z cos 9 -f- zl имеет две точки ветвлеиия а = е~1° и = лежащие внутри окружности Г" (напомним, что мы рассматриваем сейчас значения 0, лежащие на отрезке [0, it]). Стянем окружность к линии ветвления — отрезку, соединяющему точки аир. Интегралы по бесконечно малым окружностям, окружающим точки а и р, дают нулевой вклад, а вклады от отрезков [а —f- 0, р —)— 0] и [р— 0, а— 0] одинаковы, так как }/ 1—2z cos 0 -j-z°- имеет противоположные знаки в соответствующих друг другу точках этих отрезков. Отсюда вытекает, что
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed