Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 68

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 241 >> Следующая

148

ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА

[ГЛ. III

Из формул (3), (5) и (6) вытекает, что эти операторы задаются равенствами:

Н+ = е

-<Ф

Н =е‘*

. д 1 д0~ . д

1дв

¦ -Д-д ?- -|- ctg в S,

sin 0 dip cty

i а , й в

sin 6 й® С g tty

я. = г

. д

(7)

(8) (9)

7. Инфинитезимальные операторы и рекуррентные формулы.

Мы дадим сейчас другой вывод рекуррентных соотношений для функций Plmn (г), основанный на реализации представлений Tt (и) в пространстве функций на группе SU(2). В п. 5 § 2 главы I было показано, что если Т(g) — представление группы О в пространстве Jq и а — вектор из то равенство

где

R(go)f(g)=f(ggo)> f(g) = (T(g)t a), fE?>

rG G>

задает представление группы О, эквивалентное T(g). При этом матрица представления Т(g) в базисе {е„} совпадает с матрицей представления R(g) в базисе

?n(g) = (T'(g)en, а).

Применим эти результаты к группе SU(2) и ее неприводимым представлениям Tt (гг). В качестве базиса в выберем базис

Ф» (*) =

Л- п

У (/-«)!(/ + «)!

а в качестве вектора а — базисную функцию (-*:). При отображении f—>/(«) выбранному базису соответствует базис, состоящий из функций (Tt(u)tyn, фт), т. е. из элементов tlmn(u) m-Vt строки матрицы представления Tt (гг) в базисе (х)}. Обозначим представление группы SU(2) в пространстве функций /(гг) через Rlm (и). В силу

сказанного выше матрица представления Rim(u) в базисе {С (гг)}, —совпадает с матрицей представления Tt(u) в базисе {<|>„ (.*)}, —l^ns^l.

Но если совпадают матрицы представления, то совпадают и матрицы инфинитезимальных операторов, поскольку они однозначно определяются операторами представления. Обозначим инфинитезимальные операторы представления Rim(u) через А1™, 1^&^;3. Принимая во внимание формулы (6) п. 3 § 2 и сделанное замечание о
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Р‘тп{г)

149

совпадении матриц, получаем

H\mtlmn (г?) = - /(Т^ННЛг+Т) 4. „ +1 (и), (1)

Hlmtlmn (и) = — V(l+n) (/— я + 1) 4,»- I (и), (2)

rtmt‘mn(u) = ntlmn (и), (3)

где Н\т = 1Л\т - A1™, HLm = iA[m + /Цт, Н1”1 = 1А[[т.

Чтобы получить искомые рекуррентные соотношения, нам осталось вычислить инфинитезимальные операторы А1™ и подставить их выражения, равно как и выражения для 4л (и), в формулы (1)—(3). Для вычисления инфинитезимальных операторов заметим, что представление Rimiii) является сужением на подпространство lQlm правого регулярного представления

R (ыо)/00 =/(чи0).

Поэтому операторы Hl™, Н1™ и Н13т задаются теми же формулами, что и операторы Н+, //_, Нъ (см. формулы (7)—(9) п. 6). Подставим

выражения для //{т и Н1™ и выражение (6) п. 3 § 3 для tlmn(u)

в формулы (1)—(3). После простых преобразований получим рекуррентные формулы для Р1тп (г):

= — i Yd— w) (/ —|— « —j— 1) Pm, n +1 (z)

= — i Yd ~\~ 1) Pm, n - I (z)

8. Оператор Лапласа. Найденные выражения операторов А1™ k=\, 2, 3 позволяют дать новый вывод дифференциального уравнения для функций Plmn(z). С этой целью рассмотрим оператор

Д/т = {Л1Г? + {ЛТ? + (Aff.

Так как операторы А1™ задаются теми же матрицами, что и операторы Ak, k = \, 2, 3, то матрица оператора А1т совпадает с матрицей оператора А[А$А%. Но из формул (5)—(7) п. 2 § 2 находим после несложных преобразований, что

Al~\- А1~\- А% = — / (/-|- 1) Е.

Следовательно, и

А1т = —/(/+!)? (в пространстве ?im). (1)

dz ***
i
?
i
dP'mn (*) , m --- nz j
dz VI ---г2

150 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III

Чтобы получить явное выражение оператора А1т через углы Эйлера, воспользуемся выражениями (3), (5) и (6) п. 6. Мы получим

л & , , й д , 1 [ д2 „ д2 , д*

1т — д62 + ctg 0 ,je + sins 0 [ fys 2 COS 0 ^ ^

Поскольку матричные элементы tlmn(u), —принадлежат пространству для них выполняется равенство

^1т^тп 00 = — 1) t-тп. 00 •

Подставляя в это равенство вместо Д/т выражение (2), а вместо tlmn(u) выражение (6) п. 3 § 3, получаем после несложных преобразований дифференциальное уравнение для функций Pmn(z):

п У2р™(2) 2~<»(г)

*¦ ’ dz2 dz

m2 + п2 — 2mtiz r.i , . ,

-------------------Pmn(z) = —l(l + l)P‘mn(z). (3)

Заметим, что операторы Л?" являются сужением на подпространство инфинитезимальных операторов Ak, k=\, 2, 3 правого
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed