Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать, что этими условиями функции Plmn(z) определяются однозначно, с точностью до постоянного множителя. Иными словами, любая собственная функция оператора (6), соответствующая собственному значению —/(/ —|— 1) и принимающая конечные значения в точках z = ± 1, пропорциональна Plmn(z).
Можно доказать, что если тип одновременно целые или полу-целые числа, то собственные функции оператора (6), конечные при z = ± 1, существуют лишь для собственных чисел вида Х = — /(/ —|- 1). Здесь I является целым или полуцелым числом одновременно с т и п.
Из дифференциального уравнения (5) в качестве частного случая при л = 0 получаем дифференциальное уравнение для присоединенных функций Лежандра:
c/2P,m (z) с/Р,т (z) г т2 I т
о-^)—&г-2г~1г-+[1У+х')-:rr^J^
146
ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 1Н
Если же положить не только п = 0, но и т = О, то получим дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра:
(\-z^d^fi-2zd-^ + l(l+\)Pl(z) = 0. ^
6. Инфинитезимальные операторы регулярного представления.
Рекуррентные соотношения для функций Plmn(z) связаны с инфините-зимальными операторами регулярного представления.
Пусть ш (t) — однопараметрическая подгруппа группы SU(2). Операторы правого регулярного представления, соответствующие элементам этой подгруппы, переводят функции /(гг) в R (ш (?)) f(u)=f (иш (t)). Поэтому иифинитезимальный оператор представления R(ir), соответствующий однопараметрической подгруппе ш(?), переводит функцию
f (и) в значение функции ^ ^ ^ при t = 0. Этот оператор определен, во всяком случае, в пространстве бесконечно дифференцируемых функций на группе SU(2).
Обозначим через f(t), 6(t), углы Эйлера элемента Тогда
имеет место равенство
Итак, инфинитезимальный оператор Аш, соответствующий подгруппе ш(?), имеет вид
4 = f(0)^ + »'(0)| + f(0)^. (2)
Поэтому вычисление оператора Аш сводится к вычислению производных <? (t), 9' (t), при t = 0.
Вычислим инфинитезимальные операторы А1г Аъ А3, соответствующие однопараметрическим подгруппам Q2, 23 (см. п. 3, § 1). Напомним, что подгруппа 23 состоит из матриц вида
! % \
1е2 0 \
Шз(0= _«
\ 0 е 2
Пусть и = и (ср, 0, ф) — матрица с углами Эйлера ср, 0, ф. Тогда углы Эйлера матрицы um3(t) равны ср, 0, Отсюда вытекает, что
ср' (0) = 0, 0'(О) = О, <]/(0)= 1.
Итак, мы доказали, что инфинитезимальный оператор А3, соответствующий подгруппе 23, имеет вид
д
5 41 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Рщп (г) 147
Перейдем к вычислению инфинитезимального оператора Ли соответствующего подгруппе 2!. Эта подгруппа состоит из матриц вида
/ t . . t \
j cosy is,nT'
“‘^=1 . . * t)>
V "2" C0ST/
углы Эйлера которых равны 0, t, 0. Применяя формулы, (2)—(2") из п. 2 § 1, получаем, что углы Эйлера ср (t), 6(t), ф(?) матрицы aw(t)
связаны с углами Эйлера ср, 0, ф матрицы и соотношениями
cos9(0= cos 0 cos t — sin0 sin t cos i|>, (4)
bp(t)_ lip sin 0 cos t -)- cos 0 sin t cos ф -)- I sin t sin ф /лп
6 ~e 3HT(7j ’ ’
Q t — В t ~ —
MfW + ’HOl tv cos ^r-cos2 — sin sin e 2
p 2 ---p 2 1 1__________1 1_______ (Ajr\
~e Q(t) ^ J
cos 2
Для вычисления производных сp'(t), 9'(t), ф' (t) при ? = 0 продифференцируем по t обе части каждого из равенств (4)—(4") и положим t = 0. Так как
? (°) = <?> 0 (°) = 0. ф (0) = ф>
то
(0) = cos ф, ср,(0) = ^|, ф' (0) = — ctg 0 sin <|>.
Отсюда вытекает, что инфинигезимальный оператор Alt соответствующий подгруппе &!, имеет вид
? . д ,• sin ф д , о . , д
.41= cos ф J ctg0sint_. (5)
Оператор Л2, соответствующий подгруппе 22 матриц
-sin
I z
(0
1\
М t "
COS у,/
вычисляется точно так же. В результате получаем
Л = - sin ф | | - ctg 0 COS ф^ . (6)
Вместо операторов Аь Л2, Л3 удобно брать их линейные комбинации
Н+ = 1АХ — Л„ Н. = 1ЛХ -j- Ля_, Н3 = 1А3.
