Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Это равенство можно упростить следующим образом. В силу соотношения симметрии Plm0 (z) = Р1 т 0 (г) и формулы (2) имеем
»(*) = (-irj
Поэтому из равенства (4) следует, что многочлены Лежандра Pt(z) удовлетворяют следующей теореме сложения:
Рг (cos 0j cos 02 — sin 0j sin 02 cos cp2) =
i
= 2 e“'*‘p-> P* (cos 0i) Pj~k (cos 02). (5) k = — i
3. Формула умножения. Пусть в формуле сложения (7) п. 1 угол Эйлера ср2 вещественный. Тогда равенство (7) п. 1 можно рассматривать как разложение в ряд Фурье функции e~l (т!р + Plmn (cos 0) (где ср, ф и 0 зависят от ср2 по равенствам (6) — (6") п. 1). Поэтому
1Z
Pmk (COS 0J An (COS 0,) = JL J в' ^ F*mn (COS (1)
— 1C
Мы будем называть это равенство формулой умножения для функций P‘(z).
тп 4 '
§ 4] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Р1тп (г) 141
Отметим частный случай формулы (1). Положим в ней т = п= 0. В силу соотношения (2) из п. 2 имеем
15
_L ^ pt (cos Qj cos 02 — sin sin 02 cos ср2) =
— 1C
= (— (cos 0i)(cos 0*) = (cos 0i)* (cos 0^)- (2)
Так как Pt (cos 6t cos 02 — sin 0j sin 02 cos tp2) — четная функция o r tp2, то это равенство можно переписать в следующем виде:
1C
^ Pt (cos 0i cos 0<j — sin 0! sin 02 cos cp2) cos ?cp2 =
о
= Pf (cos 0J PJ k (cos 0a). (20
Если положить и k = 0, то получим
^ Р; (cos 0j cos 02 — sin 0j sin 02 cos ср2) с?ср2 =
= P/(cos0I)P/(cos02). (3)
Геометрический смысл формулы (2) состоит в следующем. Выберем на единичной сфере точку А такую, что ^AN=b1 (N—северный полюс сферы), и проведем на сфере окружность с центром в точке А и сферическим радиусом 02. Обозначим через 0 полярное расстояние точки В этой окружности, такой, что дуга АВ большого круга образует угол tp2 с меридианом AN. Формула (2) означает, что Р* (cos 0,) PJ~ * (cos 02) является средним значением Рг (cos 0) е1^2 по этой окружности. В частности, P^cosOj) X XP/(cos02) — среднее значение для Р; (cos 0).
Преобразуем формулу (2'). Будем считать вь 02, ер2 вещественными числами, такими, что О^02<^тг, 0 ^ 0j -|- 02 тг *), и
сделаем замену переменной
cos 0 = cos 0i cos 02 — sin 0j sin 02 cos tp2. (4)
Обозначим через Tn(x) функцию cos (яarc cos л:). Она называется многочленом Чебышева первого рода. Из равенства (4) вытекает, что
, „ I cos 0, cos 0,--------COS 0 \
cos = Tk -----------.....-?-д----- . (5)
\ sin 0j sin 02 j v '
Кроме того, из равенства (4) следует, что , — sin 0 db
atpa = - .. ¦ .... =г-. (6)
Y [cos 0 — COS (0i -f- 02)] [cos (0J-02) — COS 0]
Так как при изменении ер2 от 0 до тг переменная 0 меняется от 0t —)— 03 до 10j — 021, то указанная выше замена переменной преобразует
*) Если последнее условие не выполнено, то надо заменить 0j и 02 на
142 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. [11
интеграл (2') к следующему виду:
1 "‘f p^cos»,r4^i=?“-i)x
I ®1 — ®2 I
sin 0 dO __
У" [cos В-COS (0! -f- 02)] [cos (0, — 02) —cos 0]
= P\ (cos в,) Pj~ k (cos 02). (7)
Выражение, стоящее в знаменателе этой формулы, имеет простой геометрический смысл: оно равно площади сферического треугольника со сторонами въ 02, 0, деленной на 4тг2.
4. Рекуррентные формулы. Мы выведем сейчас формулы, связывающие функции Plmn(z), нижние индексы которых отличаются друг от друга на 1. Эти формулы, называемые рекуррентными формулами для функций Plmn(z)> могут рассматриваться как инфинитези-мальная форма теоремы сложения. Они получаются из теоремы сложения при бесконечно малом 02. Чтобы получить их, надо продифференцировать обе части формулы (7) из п. 1 по 02 и положить 02 = О. Нам будет удобнее вместо общей формулы (7) п. 1 использовать ее
частные случаи, соответствующие значениям ср2 = 0 и ср2 = ~ (см.
формулы (8) и (14) из п. 1).
Предварительно найдем значения ™ [Plmn (cos ®)] при 0 = 0. Для
этого продифференцируем по 0 обе части формулы (4), п. 4 § 3 и положим 0 = 0. Мы получим
dr oZ , ЙЧ1 i т Г(1 — т)! (/ + т)!
db tРтп (cos 0)]fl = 0 4п У (L — /х)! (/ + п)\ X
2п
Х$ W— п)е~^п + 1)? + (/+«)e-'t"-1)?] dy, (1)
о
Очевидно, что правая часть этого равенства равна нулю, если т отлично от п-\-\ или п—1. Если же т = п-\-1, то из формулы (1) вытекает, что
