Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Далее заметим, что
_(— l)/+m /1 VI (—1)* (2ft)!
(/ — ft)! (2ft —/ — m)!
(_!)!(/ + „)! ,,.-TY (— 1)* (2ft)! zsk~l+m
2l (I — m)\ *¦ ’ Zj ft!(/ —ft)!(2ft —/ + m)!’ ( 4
k
где суммирование ведется по целым значениям k, таким, что 0=s:?=s: ==; / и 2k^l-\r т (соответственно 2k ^ I — т). Для доказательства этого равенства достаточно разложить в формуле (14) (1—z1)1 по биному Ньютона и почленно продифференцировать полученное выражение.
В частности, из формулы (21) вытекает, что
р (Z) -tzM (-l)*(2fe)!*2*-' (22)
2l Li ft! (/—ft)!(2ft —/)! • К ’
2*2=/
В заключение получим разложение многочлена Лежандра Pt (cos в) в ряд Фурье. Для этого перепишем формулу (16) в виде
2ж
Pt (cos 6) = 2^- ^ (е№ cos2 у -(- е~‘е sin2 d<f. (16*)
136 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
Разложим |V6 cos2— -|-?~‘6 sin3~j по формуле бинома Ньютона и примем во внимание, что при 0
О
(см. гг. 7 § 1 главы V). Мы получим равенство
r»i' ‘+2 Г '“' + 1 ...
P,(coSe) = V2“^------------жтгги--------<24>
k\ (l — k)\
ft=0
Так как
ei9= cos 0 -|-I sin 0 = г -(-VZ* — 1,
то равенство (24) дает разложение Pt(z) по степеням г-\-Yгъ— Ъ
10. Многочлены Лежандра как зональные сферические функции. Мы определили многочлены Лежандра с помощью равенства
Рi (cos б) = Pl00 (cos 0) = tl03 (g), g=g(0,0,0), (1)
где I — целое число. Но базисная функция
М*) = тг
инвариантна относительно всех операторов вида Tt(h), где
/ ‘4- \
h = \e'2 \). (2) Vo в 2/
Согласно п. 6 § 2 главы I матричный элемент t[a(g) в этом случае называется зональной сферической функцией представления Tt(g) относительно подгруппы матриц вида (2). Таким образом, Pt(cos 0) является зональной сферической функцией представления Tt(g). Из свойств зональных сферических функций следует, что при g= = g(<?> 0> +)
t1,,, (g) = Pl (cos 0).
Рассмотрим теперь присоединенные сферические функции tlk (g) (см. п. 5 § 2 главы I). Из формулы (6) п. 3 следует, что
*ао fe) = e'ikv P‘k0 (cos 0) или, в силу равенства (9) п. 9
ъ(g)=иy[ЬН!e~ik9р<(cos6)’ ~l^k<"/*
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Р^„ (г)
137
В п. 5 § 2 главы I было отмечено, что присоединенные сферические функции можно рассматривать как функции на однородном пространстве 9)}= G/Я. В нашем случае это однородное пространство можно отождествить со сферой S2 (см. п. 7 § 1). Поэтому
о (8) — функции на сфере S2.
Принято обозначать функции tlk0(g), рассматриваемые как функции на сфере, через
Yik (<р, 0), 0 Ср 2lT, 0 ^ 0 1Г.
В этом случае ® и 0 являются не чем иным, как географическими координатами на сфере, причем широта отсчитывается не от экватора, а от полюса.
Ниже будет показано, что присоединенные сферические функции Ylk (tp, 0), / = 0,1,..., —образуют полную ортогональную систему функций на сфере S2.
§4. Функциональные соотношения для функций Р1тп(г)
1. Теорема сложения. Многие важные свойства функций Ptmn{z) связаны с теоремой сложения для этих функций. Чтобы вывести ее, воспользуемся соотношением
Ti (gigs) = Ti (gi) Ti Ы- (!)
Из этого соотношения вытекает, что
&»feift)= ? 4ий)4ы. (2)
I
Применим равенство (2) к матрицам gj и углы Эйлера которых равны соответственно 0, вь 0 и <р2, 02, 0. Для этих матриц
tlmk (gi) = P^mk (COS 0t) (3)
И
tlun{gi) = e~ ,k,-Plkn (cos 0S) (4)
(см. формулу (6) п. 3 § 3).
Матричный же элемент ^„(gig?) имеет вид
tlmn (Яй) = ^ (т'? + Л+) Plmn (C0S 0), (5)
где ср, 0, ф — углы Эйлера матрицы gjgj. Согласно п. 2 § 1 эти углы Эйлера выражаются через углы Эйлера 0Ь <р2, 03 сомножителей по
138 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. Ill
формулам
cos 9 = cos 0i cos 03 — sin 0j sin 02 cos cp2, (6)
(60
______ Sin Dj COS U2 -f- COS Sin D3 COS <pa -f- i sin «3 sin <
