Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Из формулы (3) п. 4 вытекает, что если jc^>1, то
Р>тп СX + /0) = (— 1)” PL (X — Ю). (1)
Аналогично, если л:<^— 1, то
Pfmn (X + Ю) = (- 1)" +П Р*тп (X - Ю). (2)
9. Связь с классическими ортогональными многочленами. Мы
ввели функции P^mn(z) и получили для них различные представления. Установим теперь связь функций f^mn(z) с некоторыми классическими ортогональными многочленами — многочленами Якоби, присоединен-
§ 3] МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ 133
ными многочленами Лежандра и многочленами Лежандра. Эта связь позволяет из каждого свойства функций F^mn (г) получать соответствующие свойства многочленов Якоби и Лежандра.
Многочлены Якоби определяются формулой
pt- р) (*) =^Г V ~ + гУ~* ^ К1 - zr>< + г)Р+А]- (1)
Сравнив эту формулу с формулой (3) п. 4, получим
рк е> (г) = 2”i™ Y (1 - ^(1 + plmn (*)•
(2)
где
/=А + “-±?, m = a-±$, «=Цр. (3)
Из формул (3) видно, что а = т — п и $ = т-}-п являются целыми числами. Таким образом, функции F^mn(z) приводят к частному случаю многочленов Якоби, для которых а и р — целые числа.
Остановимся теперь на важных частных случаях многочленов Якоби — многочленах Лежандра и присоединенных функциях Лежандра. Многочлены Лежандра определяют равенством
р'й=!ж»(1(4)
Иными словами, Р/(г) = Р|0>0' (г). Сравнивая формулу (4) с формулой (3) п. 4, получаем
Р1(г) = Р[0(г). (5)
Аналогично присоединенные функции Лежандра Р™ (г), т 3= О определяют формулой (/, т — целые)
т
рш (z) _ (-l)m+/(l-^2" __ ,у (6)
i ' ' 2Ч\ dzm+lK
т. е.
pm (z) = J^+m)L (1 _ zS)- з р^-т. - т). (7)
Сравнение с формулой (3) п. 4 приводит к равенству
pT^=i"'Yb^p‘-~^)- (8)
Мы видели в п. 6, что Р[_т o(z) = Plm о(г)" Поэтому равенство (8) можно переписать в следующей форме:
134 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. III
При т<^ 0 определим Pf(z) гой же формулой (9). Тогда
РГ т (*) ¦= (- 1Г Pf (Z). (10)
Из формул (1)—(4) п. 4 вытекают следующие представления функций Pf(z):
т I
z'y.2 X (— \y(l+jJ /1 —Z\J
J— max (m, 0)
Pf (z) = (_ 1 yn l\ (/ + „)! (I_^)2 (1+iy X
1+2; \ 2 !
N
(— \)J /1 —Z\I
м
где Af = max(0, —m), N=min(l, I—m)\
2n
Pf (cos 0) = ‘ ^ 2^/1 ^ ^ (cos ® + i sin ® cos ?У e!m? dy =
= § (** - 2te ctg 0+1)' dr, (13)
1'
m
рГ(‘) = (-^р(1 Sio-z*)l =
m
— ( + ~____________ 2. 2 e!‘ m (i___
2 4\(l — m)\ ^ >' *¦ '
Полагая m = 0, получаем соответствующие формулы для многочленов Лежандра:
1 \ (-1)1(1+j)lfl-z\i_
(l—J)WW V 2 )
)=о
‘й=2!
=(«)’(+)'2о!ЙЙда(!-?!)''. <‘5)
j=о ¦
Рг (cos 6)=~ ^ (cos 0 —j— г sin б cos ср/ dy =
о
= — 2izctgB-\-\)1 z-l-'dz. (16)
Г
Сравнивая формулы (4) и (6), получаем при т^О
= (17)
§ 3| МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ 135
Укажем еще некоторые представления функций Р? (г) и Pt (г). Разложим в формуле (13) (cos 0 -|-1 sin 0 cos ср/ по биному Ньютона. Так как при целых k и т, k^O, О
2к 2к
\А ШГ —
2п
о
I 2^ШТ7)Г’ ест k = »‘ + 2r> (18)
( 0, если k н гп имеют различную четность, или k<^m,
' (т + 2г)1 2т+2гг\ Г)!
то при т^О
Р? (г) = (— \)т (/-(- т)\ (%^)т cos1 в X
[4““]
х 2 (?)' ¦ <19>
(-1)Г ftgON
г! (т + г)! (/ — т — 2г)\ \ 2 j
Г= О
В частности,
И
Р, й = Л cos' 9 2 (ri>V~2r)! Р/Г • (20)
г —О
