Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
~[Pln + x>fl(cos0)]9 = o = 4v (/-»)(/+»+ 1) . (2)
Точно так же получаем
ж [f*n - » (cos % = 0 = 4 /(/+»)(/-»+1). (20
Перейдем теперь к выводу рекуррентных соотношений. Продифференцируем обе части равенства (8) из п. 1 по 02, положим 02 = 0 и используем соотношения (2) и (2'). Заменяя cos 0j на г, получим
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ Р1 (г)
тп
143
искомое рекуррентное соотношение
______ ^р1 . ___________________
V1 — zi = — Т[У" (/—и)(/ + и+ 1) р'т л + 1(г) +
+ / — Р1т л_,(г)]. (3)
Чтобы вывести второе рекуррентное соотношение, используем частный случай теоремы сложения, соответствующий Продиф-
ференцируем обе части формулы (14) п. 1 по 02, положим в,=0 и используем соотношения (12) — (12") п. 1. Получим после простых преобразований
. Г Лч> , Л , д ч (cos °i) db I
11"1 </e2 + ” rfe2 Je2 = о mn (cos 0i) ~ rf0i ' rf02 (в2 = 0 —
= я + !) Л - 1 (cos Sj) —
- /(/_«)(/+„+ 1)л+ч (cos 00], (4)
где 0, <p, ф выражаются через 6j и 02 по формулам (12) — (12") п. 1. Нам осталось найти значения производных ^•, 4т-при0о=О.
WOg uDg WOg
Для этого продифференцируем равенство (12) из п. 1 по 0, и положим 02 = О. Так как при 02 = О имеем 0 = 01, <р = 0, ф = <pg =тт/2,
то получаем |fl 0 = 0- Точно так же из формул (12') и (12")
п. 1 выводится, что
I = ~ и Ж" I = — ®i •
db2 |е2 = о smOj rf6a |e, = о &
Подставляя найденные значения производных в формулу (4) и заменяя cos 01 на г, получаем
/Г m~nzr]pl(z) =
Lу 1 _zs J
= |[К(/+»)(/-»+!) /* . „_, (*) -
- /(/^Г«Г(Г+ и + 1) Plm<n+l (*)]. (5)
Из рекуррентных формул (3) и (5) легко вытекают рекуррентные
формулы
1/1----л dP™(z) .1 пг-т nf ( )_
V 1 г dz " 1 тп W —
¦ = -lV(l-n)(l+n+l)P>mia+1(z) (6)
И
{z) =
dz ~Y 1___z2 m
= -/Vr(/+«)(/-/i+l)Plm .„_,(*)• (7)
144 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. ш
В силу соотношений симметрии из формул (6) и (7) следует, что ,Гл-Га dplmn (z> , mz ti pi
V1 z dz + —
= (l+m + \)f*m + l<a(.z) (8)
И
= -tV{l+m){l-m+\)Plm_l'n(z). (9)
Вычитая из формулы (6) формулу (7), получаем рекуррентное соотношение, связывающее три функции Р1тп (г) со смежными индексами:
пг-т pi ( )_
= t[V(l+ri)(l—n+l)Plm,n-1(z) —
— /(/—я)(/+ ЙЛ)P‘m,n+i (г)]. (10) Складывая же равенства (6) и (7), получаем /J—? dpf (г) = v dz
— 2 \.Y У п) У п Рт, п + 1 (-S') —|—
+ /(/+«) (/_„+1)Р^ „_,(,)]. (11)
Положим в рекуррентных соотношениях (6) и (7) т = 0 и воспользуемся равенством
^> = ^/§^?*7(4
Мы получим, что присоединенные функции Лежандра Pf (z) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
/----s- dP'i (г) пг
VI-г>^ + ?т==Г/»(г)=-/»+'м (12)
И
yr=r^^l^-^^=rP?(z)=(/ + n)(/-n+l)P?-I(z). (13)
5. Дифференциальное уравнение. Из формулы (6) п. 4 вытекает, что дифференциальный оператор
» d , nz — т
§4] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ р‘тп (г) 145
переводит P‘mn(z) в — / „ _|_ !) Р1т>п + 1(г). Из фор-
мулы же (7) п. 4 следует, что оператор
dz yi—z* К)
переводит Plm, п +1 (z) в — i /(/ -)- л -)- 1) (/ — я) (г). Отсюда следует, что дифференциальный оператор
(,/i - _ (я+1)г — т \ Л- 4- яг~ ш \ т
dz rTZIjr 2 dz+yr=jr) (3)
переводит Plmn (z) в функцию — (/ — л) (/-)— /г -)— 1) Р‘тп (z). Иными словами, мы доказали, что функция Р1тп (г) удовлетворяет дифференциальному уравнению
(-f - + J^zzHL.) pi {г) =
\ dz /1 — z2 J\
= -V-n){l+n+\)I*nn(z). (4)
Раскроем в этом уравнении скобки и упростим его. Мы получим тогда уравнение
,л <L\d'Plmn(z) 0 dPlmn(z) — 2tnnz nt f 4_
‘ Z) dz* dz 1—г2 ^mn(z) —
= -l(l+\)P‘mn(z). (5)
Итак, функции p'mn(z) являются собственными функциями дифференциального оператора второго порядка,
/л ds 0. d т2 + п- - - 2тпг
U z > dza zz dz 1 — z2 ’ ^
соответствующими собственному значению —/(/-(-1). Эти функции принимают в точках z = ±\ конечные значения.
