Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Р + 0 а — 0
Р,(COS0)=—[ -________________‘1,!: = '. [ zl(i~— (3)
711 .) ~\f 1 — 2zcos 0 —I— г2 511 J У 1 — 2г cos в —I— г2
а —}— 0 1 р— 0Г '
Из формулы (2) вытекает, что в первом интеграле вещественная часть корня положительна, а но втором — отрицательна.
Деформируем теперь отрезки [а —f- 0, р -f- 0] и [а — 0, р — 0] в дуги единичной окружности, соединяющие точки аир. Из равенства (3) вытекает, что
о О
Г Г cos (l -)- -к-'] ср da
гч г ч\ 1 I e‘tl+i)fd<t 2 I \ 2 /т ^
Pl (cos 0) п J _2ei<p COS0 + * J у 2 (coscp~cos0) ^
— e ’ 1 о
и
2я — 0 те
f • , 1 sin (/ + -S-) cp rfcp
p ( ЙЧ _ 1 I e’“^"td<D _ 2^ j v 2/
i 0S > я j! 1 — 2e‘f cos0 +7^ »J ]/~2 (cos 0 coscp)
В самом деле, в силу неравенства (2) при —имеем
]/1 — 2el<e cos 0 -f- e2f(f = е 2 ]/2 (cos <р — cos 0), а при 0<^cp<^2u — 0 имеем
__________________ ___________________________
УI — 2ei<r cos 0 -f- e2|(f = /e2 ]/ 2 (cos 0 — cos cp),
где корни в правых частях понимаются в смысле арифметического значения.
164 ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 111
Итак, мы доказали, что
0 ТС
- * 2 f cos(/+ 2 f sin(/+i)^
P, (cos 6) = — I — — I л_
n J Y 2 (cos ? — cos 0) я J Y 2 (cos 0 — cos <f) ’
где корни понимаются в арифметическом смысле. Эти формулы были установлены Дирихле и Мерфи.
5. Рекуррентные формулы для многочленов Лежандра. Выведем рекуррентные формулы, связывающие многочлены Лежандра Pi(z) с различными индексами /. Продифференцируем обе части равенства
I ОО
(1 — 2/гг + /гаГТ = 2 Pi(z)h‘ (1)
/ =о
по h и умножим получившееся равенство на 1—2hz-\-h3. Мы получим
I ОО
(2 — К) (1 — 2hz -f h*)~ * = (1 — 2hz + /га) % iPi (*) А'-1, (2)
I = I
т. e.
OO 00
(z - h) 2 Pi (Z) hl = (:1 - 2hz + A*) 2 IP, (z) h‘-K (3)
1=0 i =I
Сравним коэффициенты при hl~x. После простых преобразований получим
IP, (z) - (21 - 1) (*) + (/_ 1) Р,_2(г) = 0. (4)
Пользуясь формулой (4), легко вычислить многочлены Р, (z), отправляясь от Pa(z)= 1 и Px(z) = z.
Равенство (4) показывает, что многочлены Лежандра обладают теми же свойствами, что и многочлены Штурма. Никакие два следующие друг за другом многочлена Лежандра не обращаются одновременно в нуль. Если один из многочленов Лежандра равен нулю при некотором г, то при этом значении г соседние с ним многочлены имеют различные знаки. С помощью тех же соображений, что и в теореме Штурма, мы получаем, что между двумя соседними корнями многочлена Pi+1 (г) лежит один и только один корень мног&члена Pi (г). Отсюда вытекает, что все корни многочлена Pt (г) вещественны. Нетрудно показать, что они лежат между — 1 и 1. Для этого достаточно воспользоваться выражением (4) п. 9 § 3 для многочленов Лежандра и использовать теорему Ролля.
Продифференцируем теперь обе части равенства (1) по г и сравним получаемое равенство
3 00
(1 _ 2hz + А«Г Т = 2 W
1= I
§ 5i производящие функции для р1тп П 165
с равенством
3 оо
(z _ К) (1 — 2hz + h*f * = ^ lhl~ipi (z)
i = i
(см. формулу (2)). Мы получим
00 00
(z _ Н) ^ hl~' ^ ^ M-'Pi (*)• (6)
i=I /=1
Сравнивая коэффициенты при hl~x, получаем рекуррентную формулу lPl(z) = z-^l-^^^l. (7)
Далее воспользуемся тождеством
-1 _ А
(1 — 2hz-\-h2) 2 =(1 — 2hz-\-h*) 2 (1 — hz)—
_2
— h(z — h)( 1 — 2hz -f- /г4) 2.
