Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Если функции /(g)?84(G), т. е. если они имеют интегрируемый квадрат относительно инвариантной справа меры, а отображение f— f(g) взаимно непрерывно относительно сходимости в 2 и (G), то представление T(g) эквивалентно неприводимой части регулярного представления группы G. Для многих групп (в частности, для всех компактных групп; см. § 4) все неприводимые представления получаются при разложении регулярного представления на неприводимые компоненты.
Обозначим образ пространства 2 при отображении f —-f(g) через 5Ш. В качестве базиса в 9)? естественно выбрать образы базисных векторов {е;} из ?. Будем считать, что базис {е;} выбран так, что инвариантный вектор а является одним из базисных векторов, скажем, a = et. В этом случае базисные векторы е;- переходят в матричные элементы первой строки представления Т(g). В самом деле,
ej(g) = (T(g)ej, a) = (T(g)ej, e1) = tlJ(g), откуда и следует наше утверждение. Из
Q (go) hj (g) = hj (ggn) = 2 hi (go) hk (g)
k
*) (f, a)—некоторое скалярное произведение в пространстве представления.
44
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
видно, что в базисе {tXJ (g)} представление Q(g) задается той же матрицей, что и представление T(g) в базисе {ву}.
о. Представления класса 1. Сферические функции. Пусть T(g)— неприводимое представление группы О в пространстве 8, а Н— подгруппа этой группы. Вектор а в пространстве 2 называют инвариантным относительно подгруппы Н, если для всех h ? Н имеем T(h) а = а. Представление T(g) называют представлением класса 1 относительно подгруппы Н, если в его пространстве есть ненулевые векторы, инвариантные относительно Н, причем сужение представления T(g) на подгруппу Н унитарно:
(T(h)x, Т0г) у) = (х, у), /г?=Я (1)
Если в пространстве ? любого представления класса 1 относительно Н есть лишь один нормированный инвариантный вектор а, назовем подгруппу Н массивной.
Пусть Т(g) — представление группы Q класса 1 относительно массивной подгруппы Н и а — нормированный инвариантный вектор в пространстве 8 этого представления. Применим к вектору а конструкцию из п. 4, т. е. каждому вектору f из 2 поставим в соответствие функцию
f(g) = (T(g)t, а) (2)
на группе G. Эти функции называют сферическими функциями представления Т (g) относительно подгруппы Н. Как было показано в п. 4, представление Т(g) эквивалентно представлению
Qteo)/fe)=/(a?o) (3)
в пространстве сферических функций.
Сферические функции можно рассматривать как функции на однородном многообразии с группой движений G и стационарной подгруппой Н. В самом деле, из того, что сужение Т(g) на подгруппу Н унитарно, следует равенство
f №) = (T{hg) f, a) = (T (h) T (g) f, a) =
= (T(g)t, T(h^)a) = (T(g)t, a)=f(g), h?H.
Таким образом, сферические функции представления T(g) посто-
янны на правых классах смежности Hg по подгруппе Н. Но множество правых классов смежности по подгруппе Н образует однородное пространство с группой движений О и стационарной подгруппой Н:
Hg—Hggo1.
Поэтому f(g) можно рассматривать как функцию на Щ = 0/Н.
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
45
Среди сферических функций представления T(g) класса 1 наиболее интересной является зональная сферическая функция, соответствующая инвариантному вектору а:
a(g) = (T(g)a, а). (4)
Эта функция постоянна на двусторонних классах смежности HgH по подгруппе Н.
В самом деле, по уже доказанному, а {high^) = а (gh%), где hb /г2 ^ Н. Но Т(h2) а = а и потому
а №) = (Т (gh2) а, а) = (Т (g) Т (Аа) а, а) = (Т (g) а, а) = а (g). Таким образом,
а (highi) = а (g). (5)
Как было отмечено в п. 2 § 2, двусторонние классы смежности по Н соответствуют сферам в однородном пространстве. Следовательно, зональные сферические функции постоянны на сферах.
Если в пространстве ? выбрать базис так, чтобы а = е1( то зональная сферическая функция является не чем иным, как матричным элементом tn(g). Остальные матричные элементы t\j (g) первой строки называют обычно присоединенными сферическими функциями. Они, как мы говорили, постоянны на правых классах смежности по Н.
Иногда называют присоединенными сферическими функциями и матричные элементы первого столбца:
tn(g) = (T(g)e1, е,.) = (Г(йа, ег). (6)
Эти функции постоянны на левых классах смежности по Н:
tnigh) = tn{g). (7)
Можно показать, что если О—группа вращений трехмерного евклидова пространства, а Н—подгруппа вращений плоскости, то сферическими функциями неприводимых унитарных представлений группы О являются классические сферические функции У} (ср, 0). При этом зональными сферическими функциями являются многочлены Лежандра /^(cosfi). Если же Q—группа вращений л-мерного евклидова пространства, а Н— подгруппа вращений (п — 1)-мерного евклидова пространства, то сферические функции выражаются через многочлены Гегенбауэра *).
