Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
2. Транзитивные группы преобразований. Пусть О — (эффективная) группа преобразований множества ЗЙ. Если для любых двух элементов хм у множества ЭЛ найдется такой элемент g из О, что gx—y, то О называют транзитивной группой преобразований множества 9Л. Множество 2Л, в котором действует транзитивная группа преобразований Q, называют однородным пространством с группой преобразований Q. Например, группа вращений евклидова пространства не является транзитивной, поскольку точки, находящиеся на
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
39
разных расстояниях от начала координат, не могут быть переведены друг в друга вращением (вокруг начала координат). В то же время эта группа является транзитивной группой преобразований единичной сферы в себя. Таким образом, сфера является однородным пространством относительно группы вращений евклидова пространства, а само евклидово пространство однородным пространством относительно этой группы не является.
Если группа О не является транзитивной, то множество ЭУ1 распадается на непересекающиеся классы элементов, такие, что два элемента одного и того же класса можно перевести друг в друга преобразованием из группы О, а элементы различных классов не переводятся друг в друга такими преобразованиями. Эти классы элементов называют классами транзитивности. Например, сферы различных радиусов с центрами в начале координат являются классами транзитивности для группы вращений евклидова пространства.
Пусть О—транзитивная группа преобразований множества 3)1, и а — некоторая фиксированная точка этого множества. Рассмотрим все элементы h группы О, оставляющие на месте точку а, т. е. ha~a. Так как из hta = a и h^a = a вытекает, что hx1a = a и (hvh^)a = a, то множество таких элементов образует подгруппу Н группы О. Ее называют стационарной подгруппой точки а.
Если преобразование g переводит точку а в другую точку х, то все остальные преобразования glt переводящие а в х, имеют вид g1=gh, где h(^H. Иными словами, множество таких преобразований является левым смежным классом gH по подгруппе Н. Поскольку группа О транзитивна, этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками jt множества Ш и левыми смежными классами по Н. Преобразования x^-gx при этом соответствии переходят в умножение слева на g\ если точке х соответствует смежный класс gxH, то точке gx соответствует смежный класс ggxH.
Заметим, что стационарная подгруппа не определяется однозначно заданием однородного пространства ЭЭТ, а зависит еще и от выбора точки а. Выясним, как связаны друг с другом стационарные подгруппы различных точек. Пусть Н — стационарная подгруппа точки а, и пусть преобразование g переводит точку а в точку Ь. Тогда преобразования вида ghg~l, h Н, и только такие преобразования оставляют на месте точку Ь. Таким образом, стационарной подгруппой точки b является подгруппа gHg~l, сопряженная стационарной подгруппе Н точки а. Поскольку группа О транзитивно действует на 301, все стационарные подгруппы точек множества §0? сопряжены между собой.
Итак, мы доказали, что каждому однородному пространству S0? для группы G соответствует класс сопряженных подгрупп в О—стационарных подгрупп точек множества 9J?. Обратно>
40
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. 1
каждому классу сопряженных подгрупп соответствует некоторое однородное пространство. Чтобы построить это пространство, возьмем одну из сопряженных между собой подгрупп Н и обозначим через ЭЛ пространство левых смежных классов по Н. Каждому элементу g из О поставим в соответствие преобразование в 9)Z, переводящее смежный класс gtH в смежный класс gg\H. Группа О превращается при этом в транзитивную группу преобразований множества 9)?, а подгруппа Н—в стационарную подгруппу смежного класса еН= ~ II. Мы будем писать в этом случае
т=о/н.
Другая реализация группы О как группы движений однородного пространства ЭЛ получается, если отождествить элементы Ш с правыми смежными классами по Н, а движения определить равенством Hgi-*--*¦ Hgig~l. Переход от одной реализации к другой осуществляется с помощью преобразования g—у g~l.
Введем еще понятие сферы в однородном пространстве. Возьмем любую точку у из 9К и применим к ней все движения h из стационарной подгруппы точки а. Получим множество Hg, которое будем называть сферой с центром в точке а, проходящей через точку у. Ясно, что при реализации 9JJ в виде пространства левых классов смежности по Н сфера реализуется как двусторонний класс смежности, т. е. как множество элементов вида HgH, где g—фиксировано.
Проиллюстрируем введенные понятия на примере группы движений евклидова пространства. Стационарной подгруппой любой точки а являются вращения пространства вокруг этой точки. Если у — другая точка, то при вращениях, оставляющих точку а на месте, точка у описывает евклидову сферу с центром в точке а, проходящую через точку у.
Рассмотрим еще следующий пример. Пусть G=SO(n) — группа вращений я-мерного евклидова пространства вокруг начала координат. Ясно, что единичная сфера S’"-1 с центром в начале координат является однородным пространством с группой движений SO(n). Возьмем на сфере точку N(0, ..., 0, 1) (северный полюс сферы). Стационарной подгруппой для этой точки является группа SO (я—1) евклидовых вращений (л—1)-мерного подпространства хп = 0. Поэтому
