Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ТО
lim gnhn — gh и lim g^1 =g~1.
П —>CO
Таким образом, групповая операция в матричных группах непрерывна относительно выбранной топологии.
Поскольку в матричных группах определен предельный переход, естественным образом определяются понятия предела функции / (g), заданной на такой группе, непрерывности функции и т. д.
Назовем матричную группу О компактной, если из любой последовательности {§¦„} ее элементов можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Для того чтобы матричная группа О была компактной, необходимо и достаточно, чтобы
1) матричные элементы всех матриц, входящих в группу О, были ограничены в совокупности,
2) множество матриц {gj, входящих в группу О, было замкнутым в множестве всех матриц данного порядка.
Примером компактной группы является группа SO(ri) ортогональных матриц п-то порядка с вещественными элементами. Из ортогональности матрицы g = (giJ-) вытекает, что
/= 1
и потому все элементы ортогональной матрицы не'больше по модулю, чем 1. Далее, матрица g принадлежит SO (п) тогда и только тогда, когда gg=e '). Пусть lim gk=g и gk^SO(n). Пере-
1t —> СО
ходя к пределу в равенстве gkg'k = e, получим gg=ey а потому g(~^SO(n).
Следовательно, SO(n) образует замкнутое подмножество в множестве всех матриц. Компактна и группа Si/(гг) унитарных унимодулярных матриц п-то порядка.
Матричная группа О называется локально компактной, если множество ее элементов g=(g;j-), удовлетворяющих условию | gij — b;j-1-<:1, где — символ Кронекера, компактно. Примером локально компактной группы является группа всех невырожденных матриц л-го порядка.
J) g’ — транспониров энная матрица g.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
57
Эта группа не компактна, поскольку, например, из последовательности матриц {те\ (е — единичная матрица) нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности.
Одним из важных свойств локально компактных групп является наличие в них инвариантной (слева) меры. Точнее говоря, в любой локально компактной группе О есть инвариантная слева мера, принимающая конечные ненулевые значения на открытых подмножествах в О, имеющих компактное замыкание. С помощью этой меры определяем инвариантный слева интеграл на локально компактной группе G:
$f(g)dg=jf(gog) dg.
Можно показать, что на компактных группах мера, инвариантная слева, инвариантна и справа:
\f {g)dg=\f (gg^ dg.
При этом мера всей компактной группы О конечна. Мы не будем приводить доказательства этих утверждений, поскольку в конкретных случаях инвариантная мера строится в явном виде.
Если подгруппа Н локально компактной группы О компактна, то, исходя из инвариантной слева меры dg в О, определим меру dx на однородном пространстве Ш—QjH, положив
^ f{x)dx = \f\'i{g)\ dg.
Ш а
Здесь ср (g) — отображение g—^g'H группы G на ЭЛ. Можно показать, что мера dx инвариантна и принимает конечные ненулевые значения па открытых множествах в ЭЛ, имеющих компактное замыкание.
2. Полная приводимость представлений компактных групп.
Перейдем к рассмотрению представлений компактных групп ограниченными операторами в гильбертовом пространстве (в частности, линейными преобразованиями в конечномерном пространстве, поскольку в таком пространстве всегда можно ввести скалярное произведение). Покажем, что эти представления сводятся к унитарным. Точнее говоря, имеет место
Теорема 1. Пусть Т(g) — представление компактной группы. О ограниченными операторами в гильбертовом пространстве Тогда в этом пространстве можно ввести скалярное произведение (х, у)1( инвариантное относительно всех операторов Т(g), m. е. такое, что
(Г(?-0)х, ГЫу)1 = (х, у), (1)
для всех векторов х и у из $ и всех элементов g,о в О.
58
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
Для доказательства этой теоремы положим
(х, y)i = \(T(g)x, Т(g) у) dg, (2)
где dg—инвариантная мера на группе G и (х, у) — скалярное произведение в Интеграл (2) сходится в силу ограниченности операторов T(g) и конечности меры dg. Из инвариантности этой меры вытекает, что имеет место равенство (1).
Доказанная теорема может быть сформулирована следующим образом:
Теорема Г. Любое представление T(g) компактной группы G ограниченными операторами в гильбертовом пространстве унитарно относительно некоторого скалярного произведения в пространстве представления.
В силу результатов п. 8 § 1 из доказанной теоремы вытекает полная приводимость всех конечномерных представлений компактных групп. Соответствующая теорема верна и для бесконечномерных унитарных представлений компактных групп: пространство такого представления разлагается в прямую сумму конечномерных инвариантных подпространств, в которых индуцируются неприводимые представления группы G (см. [264]).
