Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 26

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 241 >> Следующая


Тогда {х, у} отличается от скалярного произведения (х, у) в ф лишь скалярным множителем:

{х, у}=А(х, у).
54

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ групп

[ГЛ. I

В самом деле, форму {х, у} можно представить в виде {х, у}=(Лх, у),

где А — ограниченный оператор в Из равенства (1) и унитарности, Т (g) вытекает, что

(AT(g)x, Т(g) у) = (Лх, y) = (T(g)Ax, T(g)y),

и потому

AT{g)= T(g) А.

Таким образом, оператор А перестановочен с T(g) и поэтому в силу неприводимости T(g) кратен единичному оператору. А=\Е. Следовательно,

{х, у} = (Лх, у) = Х(х, у).

4. Инвариантные операторы. Решение многих задач математической физики облегчается благодаря тому, что они обладают инвариантностью относительно тех или иных преобразований. Например, уравнения, описывающие движение тела в кулоновском поле, инвариантны при вращениях вокруг заряженной точки, оператор Лапласа А инвариантен относительно движений евклидова пространства, волновой оператор Q — относительно преобразований группы Лоренца и т. д.

Инвариантны и многие интегральные операторы математической физики. Например, интегральный оператор с ядром

АГ(х, у) = —— 1

V {*1— yi)s + (*2— ^)2+(-^з — .Уз)2

инвариантен относительно группы движений евклидова пространства: при одновременном сдвиге точек х и у ядро оператора не меняется.

Введем общее определение оператора, инвариантного относительно преобразований некоторой группы. Пусть О—группа преобразований множества ЯЯ и ? — инвариантное линейное пространство вектор-функций на ЭЛ со значениями в линейном пространстве 91. Оператор А в ? называют инвариантным относительно группы О, если он перестановочен с операторами сдвига

Т (g) f(x) = f (g~lx), т. е., если для любого элемента g из О имеем

AT{g)=T(g)A. (1)

Например, если К(х, у) — ядро, зависящее от точек х и у множества ЗЭТ, и инвариантное относительно группы О:

К (gx, gy) = К (х, у),

р — инвариантная мера на множестве 3)1, и f(x) — скалярная функция, то интегральный оператор

Af{x)=\K(x,y)f{y)d\>.{y) (2.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП

55

инвариантен. В самом деле, AT(g)f(x) = ^ К(х, y)f{g гу) dp (у). Делая подстановку g~ly = z, получаем в силу инвариантности К(х,у)тл ja, что

AT{g).f{x) = J K(g-'x, z)f{z) fiffx (z) = (Af) (g-'x) = T(g) Af(x).

Из результатов п. 1 вытекает следующее утверждение;

Пространство собственных функций инвариантного оператора А, соответствующих собственному значению X, инвариантно относительно операторов сдвига. Каждому собственному значению X инвариантного оператора А соответствует представление T-k{g) группы О. Оно строится в пространстве S\ собственных функций оператора А, соответствующих собственному значению X, и задается формулой

Tx(g)f(x)=f(g~'x). (3)

В случае, когда множество 931, на котором действует группа О, однородно, связь между собственными функциями инвариантных операторов и представлениями группы О становится особенно тесной. В этом случае элементы пространства являются линейными комбинациями матричных элементов представления 7\ (g). В самом деле, выберем в пространстве S\ базис cpj(jc),..., cpm(лг),... и зафиксируем точку а ? SOI. Тогда имеем

ТX (g) 9 m (а) = 9m (ё~'а) = 2 hm (g) 9 k (а)-

*

Но в силу однородности множества любая его точка может быть записана в виде x = gx1a и потому

9m (Х) = 9 т (gxla) = 2 9 k (а) tkm (gx)- (4)

А

Тем самым наше утверждение доказано.

Если представление Tx(g) приводимо, то точно так же доказывается, что собственные функции, принадлежащие инвариантному подпространству S', являются линейными комбинациями матричных элементов сужения представления T^(g) на S'. В частности, если представление Тх (g) вполне приводимо, то любой элемент из S\ является линейной комбинацией матричных элементов неприводимых представлений группы О.

§ 4. Представления компактных групп

1. Матричные группы. Компактные и локально компактные группы. Мы будем рассматривать в этой книге лишь матричные группы, т. е. группы, элементами которых являются невырожденные матрицы одного и того же порядка, а групповой операцией служит умножение матриц.
56

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

[ГЛ. I

Для матриц определено понятие сходимости: последовательность матриц gn,..., gn = (dij]) сходится к матрице g=(gi]), если

для любых I и ] имеем lim g<i?=g;/• Поэтому в матричных груп-

п —> ОО

пах можно говорить о сходимости последовательности элементов. Очевидно, что если

limgn = g и lim hn = h,

п —*¦ оо п->со
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed