Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
(т. е. рассмотрим ядро А~1 (0) отображения А и образ A (?j) пространства при этом отображении).
Из перестановочности оператора А с представлениями Т (g) и Q(g) легко следует, что эти подпространства инвариантны. В самом деле, если х JOli, то Лх = 0. Но тогда
47(g)x = Q(g),4x = Q(g)0 = 0,
и потому Т (g) х ^ 'D?i. Точно так же, если у ? ЗЛ<г> то у имеет вид v —А\, X ? а тогда
Q(g)y = Q (g)Ax = AT(g) х.
52
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
Поскольку T(g)x?2„ то Q (g) У ? ЗЭТа. Тем самым доказано, что подпространство инвариантно относительно Т(g), a SOIcj — относительно Q(g).
Но представления T(g) и Q(g) неприводимы, а потому подпространства и либо являются нулевыми, либо совпадают соответственно с С, и ?а. При этом возможны следующие случаи:
а) Если ЗЛ<2 = 0, то все пространство переходит при отображении А в нулевой элемент и потому Л=0.
б) Если 5)ii = 0 и = т0 образом пространства i*i является
все пространство причем лишь нулевой элемент переходит в нулевой элемент пространства ?а. В этом случае оператор А имеет обратный оператор Л-1 и, следовательно, представления T(g) и Q (g) эквивалентны.
в) Наконец, случай = Sj и = 2а может иметь место, лишь
если оба пространства и ?а состоят только из нулевого элемента.
В этом случае Л = 0.
Нам осталось показать, что в случае б) оператор А однозначно определен (с точностью до постоянного множителя). Предположим, что оператор В также перестановочен с Т(g) и Q(g):
ВТ (g)=Q(g)B.
Тогда все операторы вида А—ХВ, где X — число, также перестановочны с T(g) и Q(g).
Выберем X так, чтобы оператор А — \В был вырожденным, т. е., чтобы
Det (А — Щ = 0.
Тогда оператор А — ХВ, перестановочный с T(g) и Q(g), не имеет обратного. Поэтому в силу доказанного выше он является нулевым оператором, А — \В = 0. Но тогда А = ХВ. Лемма доказана.
3. Следствия из леммы Шура. Пользуясь леммой Шура, можно доказать ряд важных утверждений о представлениях групп. В частности, операторная неприводимость конечномерных неприводимых представлений является непосредственным следствием леммы Шура. В самом деле, пусть представление Т(g) неприводимо и AT(g)=T(g)A. Так как по лемме Шура оператор, коммутирующий с неприводимым представлением, определен однозначно с точностью до скалярного множителя, то А =
Другим важным следствием леммы Шура является то, что неприводимые конечномерные представления Т (g) коммутативных групп одномерны. В самом деле, если группа О коммутативна, то для любых двух ее элементов g и h имеем gh = hg, а потому
T(g)T(h)=T(h)T(g).
При фиксированном h оператор Т (К) перестановочен со всеми операторами Г(^) и в силу неприводимости Т (g) имеем T(h) = \(h)E.
ИНВАРИАНТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
53
Но представление такого вида может быть неприводимым лишь в случае, когда оно одномерно.
Из леммы Шура вытекает также следующая теорема, которой мы будем пользоваться в дальнейшем.
Теорема. Пусть представление Т(g) группы О в гильбертовом пространстве ^3 является ортогональной прямой суммой попарно неэквивалентных неприводимых представлений Ti(g) в подпространствах и пусть % — такое инвариантное подпространство в ?)> что сужение Т (g) на g вполне приводимо. Тогда g является ортогональной прямой суммой некоторых из подпространств
П
Сначала докажем следующую лемму:
Лемма. Пусть представление Т(g) группы О является ортогональной прямой суммой попарно неэквивалентных неприводимых представлений Tt(g) этой группы. Тогда любое минимальное инвариантное подпространство $ пространства «?> представления Т(g) совпадает с одним из пространств ,?);•
В самом деле, обозначим через Pt оператор ортогонального проектирования подпространства $ на подпространство <{рг представления Tt (g). Из попарной ортогональности подпространств вытекает, что
PiQ(g)=Ti{g)Pi,
где Q(g)—сужение представления Т (g) на Так как представления Ti(g) и Q(g) неприводимы, то по лемме Шура получаем: если 7j(g) и Q(g) неэквивалентны, то Pi = 0. Поскольку представления Tj(g) попарно неэквивалентны, то лишь один из операторов Pi может быть отличен от нуля, например, Pj^6 0, a Pt = 0 при / ф j, Но тогда % должно лежать в Jqи быть инвариантным подпространством в Qj. В силу неприводимости Tj(g) подпространство g совпадает с Iqj.
Для доказательства теоремы достаточно разложить подпространство § 113 минимальные инвариантные подпространства и применить к каждому из них лемму.
Наконец, пользуясь леммой Шура, легко доказать следующее утверждение:
Пусть Т(g) — неприводимое унитарное представление группы О в гильбертовом пространстве .'/) и {х, у} — ограниченная эрмитова форма в Sg, инвариантная относительно Т (g):
{T(g)x, T(g) у} = {х, у}. (1)
