Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
5№-1 = 50(я)/50(я— 1).
3. Инвариантные меры. Пусть на множестве ЭЛ с группой преобразований G задана счетно-аддитивная мера р.. Говорят, что эта мера инвариантна относительно группы О, если для любого измеримого подмножества А из 9JJ и любого элемента g из Q выполняется
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
41
равенство
р (Л) = р (gA)
(через gA обозначен образ множества Л при преобразовании g). Например, лебегова мера в л-мерном евклидовом пространстве инвариантна относительно группы движений этого пространства (и даже относительно группы неоднородных линейных преобразований с определителем 1), лебегова мера на сфере инвариантна относительно группы вращений сферы вокруг центра и т. д.
В частности, мера р. на группе О называется инвариантной слева, если для любого измеримого подмножества ЛсО и любого элемента g из G имеем
р (Л) = р (g-Л)
(здесь gA — совокупность элементов вида ga, а ^ Л). Если же выполняется равенство
v (Л) = v (Л§),
то мера v на группе О называется инвариантной справа. Ясно, что если мера р(Л) на группе инвариантна слева, то мера v (Л) = р (Л'1) инвариантна справа.
Если мера р на множестве инвариантна относительно группы G, то интеграл ^/(x)rfp(jc) по этой мере обладает следующим свойством инвариантности
5 / (х) ^ (х) = 5 / (ёх) ^(4
В частности, если р — инвариантная слева мера на группе G, то интеграл по этой мере обладает следующим свойством инвариантности при левых сдвигах:
$/(§) Ф (g) = \f(gog) (§)¦
Аналогично, для правоинвариантной меры v имеем
5 fig) * (g) = J / (ggo) ^(g)-
4, Представления групп операторами сдвига. Рассмотрим представления групп операторами сдвига на однородных пространствах. Пусть G—группа преобразований множества ЭЛ, а й — линейное пространство, состоящее из функций f (х), jt ? ЭД, со значениями в линейном пространстве 5J. Назовем пространство 2 инвариантным относительно движений из G, если вместе с любой функцией f (л;) оно содержит все функции f (gx), g ? G.
*) А ‘ — множество всех элементов вида а-1, где а^А,
42
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
С каждым инвариантным подпространством ? связано представление группы О операторами сдвига
T(g)f(x) = f(g~1x), g<E G’ f Е ^ (!)
Чтобы доказать, что равенство (1) определяет представление группы G, достаточно заметить, что для любых двух элементов gi и ft из G имеем
т Ы т Ы f (х)=Т fe) f fe 1 х) =
= f fes 1 ST1 x) =f ((gigiT1 X)=T (glgi) f (x).
Если в пространстве 5Ш есть мера р., инвариантная относительно группы G, то в качестве ? можно взять пространство скалярных функций f(x), имеющих интегрируемый квадрат по этой мере. В этом случае представление T(g) унитарно относительно скалярного произведения
(Л> Л) = $ Л ОО Л (X) dp (*)¦
Ш
В самом деле,
(ТШь T{g)A) = \ T(g)fl{x)T(g)U{x)dV.(x) =
_________
= $ Л (g 1 х) /а fe'1 х) (х)-шг
Сделаем в этом интеграле подстановку g~lx=y и воспользуемся инвариантностью меры р. Мы получим
{T{g)U т (g) Л) = \А(у) А (у) ф. (y)=(fb Л), шг
Тем самым унитарность Т(g) доказана.
Описанная конструкция применима, в частности, к пространствам функций на самой группе G, рассматриваемой как группа сдвигов. Если взять левые сдвиги g—*gag, то операторы представления имеют вид
L(go)f(g)=mig). (2)
Если же взять правые сдвиги, то они имеют вид
R(go)f(g)=f(gg0y (3)
В случае, когда на группе G есть инвариантная слева мера, за ? принимают обычно пространство функций с интегрируемым квадратом по этой мере. В этом случае представление L (g) называют левым регулярным представлением группы G. Аналогично, если —пространство функций с интегрируемым квадратом по инвариантной справа мере, то R(g) называют правым регулярным представлением G.
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
43
Докажем, что любое неприводимое представление T(g) группы Q эквивалентно представлению операторами сдвига в некотором пространстве скалярных функций на этой группе. Для этого выберем любой вектор а в пространстве 2 представления T(g) и каждому вектору f из 2 поставим в соответствие скалярную функцию /(g) на группе G:
f(g) = (T(g) f, а)1). (4)
Равенство
(T(g)T(gJt, a) = (T(ggn)f, a)=f(gg0) показывает, что при замене f на 7'(g'0)f функция f(g) переходит в
Q(g0)f(g)=f(ggo)-
Чтобы доказать, что представление Q(g) эквивалентно представлению T(g), надо доказать, что ядро отображения f—-/(g) равно нулю. Но если f(g)= 0, то для всех g0 имеем f (gg0) = 0. Поэтому если вектор f принадлежит ядру отображения f —t- f(g) (т. е. переходит при этом отображении в нуль), то и вектор T(g0)i принадлежит этому ядру. Но тогда является инвариантным подпространством в Оно не может совпадать со всем пространством 2, поскольку а (е) = (а, а) 0. Следовательно, в силу неприводимости T{g) подпространство является нулевым. Тем самым доказана эквивалентность представлений T(g) и Q(g).
