Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
AT(g)=Q(g)A (1)
В частности, если А — линейный оператор в пространстве 2 представления Т (g), такой, что
AT(g)= Т(g) А, (2)
то А называют перестановочным с представлением Т(g).
Пусть оператор А в пространстве й перестановочен с представлением T(g) группы G в 2, и пусть х — собственный вектор
этого оператора, соответствующий собственному значению X. Тогда все векторы T(g)x являются собственными векторами для А, соответствующими тому же собственному значению X.
50
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
В самом деле, по условию, имеем
AT(g)x=T(g)Ax.
Но Лх = Хх и потому
АТ (g)x = ^7'(g)x-
Тем самым наше утверждение доказано.
Из него непосредственно вытекает, что собственные функции оператора А, перестановочного с представлением Т(g), соответствующие данному собственному значению X, образуют инвариантное подпространство в пространстве представления.
Отсюда следует, что оператор А, перестановочный с неприводимым представлением T(g), может иметь не более одного собственного значения, в противном случае подпространство собственных векторов, отвечающих некоторому собственному значению, было бы нетривиальным инвариантным подпространством.
Докажем более сильное утверждение:
Любой ограниченный оператор А, в пространстве I неприводимого представления Т (g), перестановочный со всеми операторами T(g), кратен единичному оператору Е, А = ),Е.
Рассмотрим сначала случай, когда оператор А самосопряжен'). В этом случае он имеет спектральное разложение
ОО
А= $ bdP(k), (3)
— ОО
причем, как известно (см. [40]), все операторы Р(к) перестановочны с операторами представления T(g). Но операторы PQ.) — проекцион-
ные и потому, в силу неприводимости T(g), равенство
P(VT(g)=T(g)P(l)
может иметь место либо если Р(к) = 0, либо если Р(к) = Е. Так как (Р(к)х, х) — неубывающая функция, то существует такое значение Х0> что /Э(Х) = 0 при и Р(1) — Е при Х5гХ0. Из равенства (2) следует, что в этом случае Л = Х0?'.
Таким образом, в случае неприводимости представления T(g) любой ограниченный самосопряженный оператор А, перестановочный с операторами представления, кратен единичному оператору. Но тогда и любой ограниченный оператор В, перестановочный с операторами T(g), кратен единичному. Чтобы убедиться в этом, достаточно записать В в виде В = By -|- iBin где Вх и В% — самосопряженные операторы. Введем следующее определение.
‘) Напомним, что ? — либо конечномерное либо гильбертово пространство. Поэтому мы можем считать, что в нем есть скалярное произведение (х, у) (вообще говоря, неинвариантное относительно Т (g)).
§ 3] ИНВАРИАНТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 51
Представление Т (g) операторно неприводимо, если любой перестановочный с ним ограниченный оператор кратен единичному.
Итак, мы доказали, что любое неприводимое представление в гильбертовом пространстве операторно неприводимо.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно даже для конечномерных представлений. Однако если представление Т(g) в гильбертовом пространстве >5 унитарно, то из его операторной неприводимости вытекает обычная неприводимость. В самом деле, пусть унитарное представление Т(g) операторно неприводимо и Jpj — его инвариантное подпространство. Обозначим через Р оператор ортогонального проектирования на Поскольку ортогональное дополнение подпространства ?)i также инвариантно (см. § 1, п. 8), имеет место равенство
PT(g)=T(g)P.
Из этого равенства, в силу операторной неприводимости Т(g), следует, что либо Р= О, либо Р=Е, а потому инвариантное подпространство тривиально.
Мы доказали, таким образом, что для унитарных представлений понятия операторной и обычной неприводимости совпадают.
2. Лемма Шура. Во многих вопросах теории представлений оказывается полезным следующее утверждение об операторах, перестановочных с не приводимыми конечномерными представлениями.
Лемма Шура. Пусть Т(g) и Q(g) — конечномерные неприводимые представления группы О в пространствах и соответственно, и пусть оператор А, отображающий ^ в перестановочен с этими представлениями. Тогда либо А является нулевым оператором, либо он имеет обратный оператор (и, следовательно, представления Т(g) и Q(g) эквивалентны). Во втором случае оператор А однозначно определен (с точностью до умножения на скаляр).
Для доказательства леммы рассмотрим два линейных подпространства, связанных с оператором А: подпространство 9Jti в Sj, состоящее из таких векторов х 2,, что Лх = 0, и подпространство
3)?8 в ?2, состоящее из векторов у ?8, имеющих вид у = Лх, х ?
