Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
При фиксированном Т характер Xr(g) является функцией на группе О. Так как
T(g-llggl)=r-4gi)T(g)T(gi),
то
Tr7'(gr1^i) = Tr7-fe)
и потому
Xrigl1 ggd^lrig)- (3)
Таким образом, характер представления T(g) является функцией на О, постоянной на классах сопряженных элементов.
Действиям над представлениями отвечают соответствующие действия над их характерами. Именно, характер суммы двух представлений равен сумме их характеров, а характер кронекеровского
произведения двух представлений равен произведению их характеров:
tT + Q(g) = tT(g) + tQ(g)> (4)
Хт ® q (g) = Хт (g) Xq (<§)• (5)
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
35
В самом деле, если матрицы представлений T(g) и Q(g) соответственно равны (tijig)) и {qijig)), то
Z.t+q (s) = Е(S) + Е я и (g) = Хт (s) + Xq (g) i J
И
Хт ®q (s) = 2 rij’ tj fe) = s hi (ж) 4jj fe) =
i /
= E г1» fe) 2 qjj (g) = Xr is)xQ (g)-
i i
11. Инфинитезимальные операторы представления *). Пусть каждому вещественному числу t поставлен в соответствие элемент g(t) группы Q. Если для любых f и s выполняется равенство
g(t)g(s)=g(t-\-s), (1)
то g(t) называют однопараметрической подгруппой, группы О. Из равенства (1) вытекает, что g(Q) = e и g(—t) = gi(t) (в дальнейшем будем исключать случай, когда g(t)~e).
Примерами однопараметрических подгрупп могут служить подгруппа вращений вокруг фиксированной оси в группе вращений евклидова пространства, подгруппа параллельных переносов по фиксированному направлению в группе движений евклидова пространства и т. д.
Пусть g(t) — однопараметрическая подгруппа группы О и T(g) — представление этой группы. Если существует предел
А = lim LMtdL = ^IMt , (2)
/-о * dt t = o
то оператор А называют инфиншпезимальным оператором представления Т (g), соответствующим однопараметрической подгруппе g(t).
Если G—матричная группа (т. е. если ее элементами являются невырожденные матрицы п-го порядка, а групповой операцией — умножение матриц) и если представление Tig) конечномерно, то инфинитезимальные операторы определены на всем пространстве представления. Для бесконечномерных представлений дело обстоит сложнее, поскольку, вообще говоря, инфинитезимальные операторы бесконечномерных представлений неограни-чены (например, операторы представления действуют в пространстве функций с интегрируемым квадратом модуля на некотором многообразии, а инфинитезимальные операторы являются дифференциальными). Используя теорию обобщенных функций, можно и в бесконечномерном случае рас- / пространить инфинитезимальные операторы на все пространство представ-' ления. Мы не будем, однако, на этом останавливаться.
*) Мы лишь кратко указываем основные факты, относящиеся к инфини-тезимальным операторам представлений. Более подробное изложение можно найти, например, в книге [39].
36
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
Пусть А — инфинитезимальный оператор представления T(g), соответствующий однопараметрической подгруппе g(t). Обозначим через Sj (вообще говоря, незамкнутое) подпространство, на котором определены операторы
^=l+W + ^+... + ^+... ,(3)
Из равенства (3) следует, что (etA)' = AetA и потому
Ф-I =А. (41
dt |/ = о v '
Используя теорему единственности решения для дифференциальных уравнений, выводим из равенств (2) и (4), что в конечномерном случае
T(g(t)) = e‘*. (5)
Таким образом, в конечномерном случае представление T{g) определяется для элементов одно параметрической подгруппы g(t) заданием инфинитезимального оператора А этой подгруппы. В бесконечномерном случае дело обстоит несколько сложнее, однако для всех случаев, с которыми мы встретимся в этой книге, утверждение остается справедливым.
Группы, которые нам встретятся в дальнейшем, имеют «достаточно много» однопараметрических подгрупп. Именно, через каждый элемент g этих групп проходит однопараметрическая подгруппа. Поэтому представления T(g) для таких групп определяются заданием своих инфинитезимальных операторов. При этом пространство инфи-нитезимальных операторов оказывается конечномерным, и его размерность равна размерности группы, т. е. числу параметров, задающих элементы группы. Например, для группы движений евклидовой плоскости пространство инфинитезимальных операторов любого представления трехмерно, поскольку любое движение плоскости задается тремя параметрами — углом поворота и координатами точки, в которую переходит начало координат.
