Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, В (К) является представлением подгруппы Н.
Мы доказали следующее утверждение.
Пусть Ш1 — однородное пространство с группой преобразований G. Пусть 5 — линейное пространство вектор-функций на 3W, инвариантное относительно операторов вида
T(g)i(x) = A (х, g) f (g-1*). (8)
Для того чтобы Т (g) было представлением группы G, необходимо и достаточно, чтобы А (х, g) имело вид
А(х, g) = B^(gx)B(gxg), (9)
где g~xa = х и В (g) — операторная функция на G, удовлетворяющая функциональному уравнению
B(hg) = B(h)B(g), h^H, g^G (10)
(Н — стационарная подгруппа точки а).
48
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
Отметим, что представления (8), соответствующие различным выборам точки а, эквивалентны друг другу. Далее, пусть С (х)— операторная функция на такая, что для всех х существует С-1 (х) и С(а) = ?. Положим
В г (gx) = В (gx) С (g~la). (П)
Ясно, что если h?H, т. е. если h~1a = a, то
В, (hg) = В (hg) С (g~1h~1a) = B(h)B(g)C (g-'a) = В (h) В, (g). (12)
В частности, Вг(К) = В (К) В1(е)=-В (К). Поэтому равенство (12) можно переписать в виде
B1(hg)=B1(h)B1(g). (12')
Отсюда вытекает, что (g) определяет представление группы G,
Q {g) * <х) = Ах (х, g) f (grlx),
где
Л (х, g) = Дг1 (Sx) Bi (gxg)-Это представление эквивалентно представлению (8). Эквивалентность устанавливается путем замены в (8) f (х) на C~1(x)i(x).
8. Некоторые примеры. В дальнейшем нам встретятся многочисленные примеры представлений групп преобразований — фактически этим представлениям и их матричным элементам посвящена вся книга. Приведем некоторые типичные примеры (опуская доказательства, которые будут проведены в соответствующих главах).
Начнем с одной из простейших групп преобразований — группы
вращений окружности. Регулярное представление этой группы строится в пространстве функций
F(cp)=/(cos <р, sin ср) на единичной окружности и задается формулой
7'feJ/7(?) = /7(? + ^) (1)
(ga—вращение окружности на угол а).
Возьмем теперь л-мерный аналог рассмотренной группы — группу SO(ri) вращений л-мерного евклидова пространства Еп. Преобразования этой группы переводят в себя единичную сферу S’"-1. Поэтому естественно строить представления группы SO(n) в пространстве функций /(|) на этой сфере. Операторы представления задаются при этом формулой
T(g)f(l)=f(g~%)- (2)
В главе IX будет показано, что это представление приводимо. Чтобы получить неприводимые представления, надо взять на Sn~x пространства функций /(g) таких, что rkf(x/r) (г* = х® —(— ... —(— — одно-
родный гармонический многочлен степени k. Представление Т(g) разлагается в прямую ортогональную сумму представлений в этих пространствах. Таким образом, теория представлений группы SO(ri) оказывается связанной с теорией гармонических многочленов от п переменных.
ИНВАРИАНТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
49
Рассмотрим теперь группу SL (п, R) линейных преобразований л-мерного линейного пространства Еп, определитель которых равен 1. Обозначим через 2 пространство всех функций /(х) в Еп с интегрируемым квадратом модуля и положим
T(g)f(x)=f(g~ix). (3)
Мы получим представление группы SL (п, R). Это представление приводимо. Чтобы получить неприводимые представления, рассмотрим однородные функции. Функцию /(х) в Еп называют однородной со степенью однородности ^ = (ш, s), если для любого вещественного числа а выполняется равенство
/(ах) = | а |“ sign6 а /(х).
Здесь со — любое комплексное число, а е принимает значения 0 и 1; sign а — знак числа а.
Легко видеть, что пространство однородных функций инвариантно относительно сдвигов; если функция /(х) однородна, то и f(g~lx) является однородной функцией той же степени. Поэтому формула
7'fe)/W=/(r1x) (4)
определяет представление группы SL (п, R) в пространстве однородных функций заданной степени. Если ш — целое положительное число, то представление (4) приводимо. Инвариантным подпространством в нем является пространство однородных многочленов степени ш от п переменных.
§ 3. Инвариантные операторы и теория представлений
1. Операторы, перестановочные с представлениями. Пусть T(g) и Q(g)—два представления группы G в линейных пространствах 1*! и соответственно. Линейный оператор А, отображающий в ?2, называют перестановочным с этими представлениями, если для любого элемента g из G имеем
