Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, при переходе к инфинитезимальным операторам мы заменяем бесконечное множество операторов представления T(g) конечным множеством — базисом пространства инфинитезимальных операторов. Это приводит к существенному упрощению задач теории представлений. Например, всякое подпространство, инвариантное относительно представления Т (g), инвариантно и относительно его инфинитезимальных операторов. Поэтому для доказательства неприводимости Т(g) достаточно показать, что в пространстве ? этого представления нет нетривиального подпространства, инвариантного относительно базисных инфинитезимальных операторов.
В дальнейшем как правило, будут рассматриваться лишь матричные группы. Для них можно говорить об инфинитезимальных операторах
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
37
(точнее, матрицах) самих однопараметрических подгрупп
____dS (?)
dt
t = о
Будем называть а касательной матрицей однопараметрической подгруппы.
Матричную группу называют линейной группой Ли, если существует окрестность единичной матрицы в этой группе, гомеоморфная единичному шару. Для линейных групп Ли совокупность касательных матриц к однопараметрическим подгруппам образует линейное пространство, такое, что вместе с любыми двумя матрицами а и Ъ ему принадлежит их коммутатор [a, b] = ab — Ъа. Такие линейные пространства матриц называют матричными алгебрами Ли. Таким образом, с каждой линейной группой Ли О связана матричная алгебра Ли ©. Можно показать, что эта алгебра Ли определяет группу О с точностью до локального изоморфизма. Иными словами, пусть две группы Ли О и Н имеют одну и ту же алгебру Ли. Тогда в них можно выделить окрестности единицы U и V соответственно и установить взаимно однозначное отображение т; = со (гг) U на V так, что
ср {щщ) = <р (гг,) ср (г/2).
Пусть g(t)— однопараметрическая подгруппа группы Ли О, T(g) — представление этой группы и А — инфинитезимальный оператор представления Т(g), соответствующий подгруппе g(t). Сопоставим касательной матрице а подгруппы g(t) оператор Л = ——д. Можно показать, что это соответствие является линейным отображением алгебры Ли группы О на пространство инфинитезимальных операторов представления Т (g), при котором коммутатор матриц переходит в коммутатор операторов: если а ->- А и b -*¦ В, то [а, Ь\ ->- [А, В\ (где [А, В]=АВ — В А). Иными словами представление T(g) группы О задает инфинитезимальное представление а—>-Л ее алгебры Ли. В случае конечномерных представлений инфинитезимальное представление однозначно определяет представление Т (g). Именно, пусть матрицы аь ..., ап образуют базис алгебры Ли группы О и
?-=ехр [ttai -f... + tnan],
где tb ..., tn — вещественные числа. Обозначим через Ak, 1 инфинитезимальные операторы представления Т (g), соответствующие однопараметрическим подгруппам ela>l. Можно показать, что тогда имеет место равенство
T(g) = exp [t\Ax -j-... -j- tnAn\.
В бесконечномерном случае дело обстоит несколько сложнее, поскольку в этом случае инфинитезимальные операторы, вообще говоря, нео-граничены, и потому определены не на всем пространстве представления.
38
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
1ГЛ. I
§ 2. Группы преобразований и их представления
В этом параграфе описаны некоторые конструкции представлений для групп преобразований. В частности, рассмотрены регулярные представления групп и представления групп, индуцированные представлениями подгрупп.
1. Группы преобразований. Преобразованием множества ЭЛ называют взаимно однозначное отображение этого множества на себя. Образ элемента jt из ЭЙ при отображении g будем обозначать через gx. Пусть О—некоторая группа. Говорят, что О является группой преобразований множества 3)?, если каждому элементу g этой группы поставлено в соответствие преобразование х—у gx в ЭЛ, причем выполнены следующие условия:
1) Единичному элементу г из О поставлено в соответствие тождественное преобразование множества Э№ ех = х.
2) Для любых двух элементов gx и g% из О выполнено равенство
{R\gi)x = S\ ig-ix)- (!)
Примерами групп преобразований являются группа всех перестановок из п элементов, группа невырожденных линейных преобразований я-мерного линейного пространства, группа ортогональных преобразований евклидова пространства, группа параллельных переносов я-мерного евклидова пространства и т. д.
Группу преобразований О множества ЭЛ называют эффективной, если для любого элемента g ф е этой группы найдется такая точках из 3)i, что gx ф х. В дальнейшем будем рассматривать лишь эффективные группы преобразований.
Заметим, что каждую группу О можно рассматривать как группу преобразований множества s))(, состоящего из элементов этой же группы. Именно, поставим в соответствие каждому элементу g0 из О левый сдвиг группы, переводящий каждый элемент g в элемент g0g. Другая реализация группы О как группы преобразований получится, если каждому элементу go поставить в соответствие правый сдвиг, переводящий g в gg» \
