Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
6. Индуцированные представления. Регулярное представление является частный случаем индуцированных представлений. Они строятся следующим образом. Возьмем некоторую подгруппу Н группы О и ее представление Q(h) в гильбертовом пространстве Обозначим через ?
1) См. главу IX.
46 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП [ГЛ. I
множество вектор-функций f (g), заданных на группе Q, принимающих значения в ^ и обладающих следующими свойствами:
1) Для любого элемента а из скалярная функция ср (g) = (f (g), а) на группе Q измерима относительно инвариантной слева меры dg на О, равно как и (f (g), f (g)), причем
f (g)) dg< -r (1)
2) Для любого элемента h из подгруппы Н выполняется равенство
' Hgh)=Q(h)i(g). (2)
Покажем, что это пространство инвариантно относительно операторов левого сдвига
= (3)
Выполнение условия 1) для f (g^lg) очевидно, условие же 2) выполняется, поскольку
T(gn) f {gh) = f (galgh) =Q(h) f (g?g) = QФ) T(g0) f (g).
Из инвариантности 2 следует, что Т(g) является представлением группы G. Его называют представлением, индуцированным представлением Q(h) подгруппы Н.
Рассмотренное выше регулярное представление группы О индуцировано тривиальным представлением единичной подгруппы { е }. Далее, тривиальное представление любой подгруппы Н-. Q(h) = E индуцирует представление
т (g) f (х)=f (g-'x), x (= m
в пространстве функций на однородном пространстве Щ = 0/'Н.
7. Представления групп с операторным множителем. Рассмотрим теперь более общую конструкцию представлений для групп преобразований, в которой сдвиги комбинируются с умножениями на операторную функцию А (х, g), зависящую от точки х ? Ш1 и элемента g из группы преобразований G множества Ш1,
Предположим, что S — линейное пространство функций, заданных на множестве 2R и принимающих значения в линейном пространстве 9t. Пусть каждому элементу х из Й и каждому элементу g из G поставлен в соответствие невырожденный оператор А (х, g) в пространстве 9t, причем для каждой функции f (х) из i' функция
Т (g) f(x)=:A (х, g) f (g~‘x) (1)
принадлежит S (очевидно, что при фиксированном g функция Т (g) f (х) задана на 2R и принимает значения d sJf).
Выясним, какой должна быть функция А (х, g), чтобы Т (g) было представлением группы G, т. е. чтобы выполнялось равенство
Г (gi) Т (gs) = Т (gigs). (2)
Из формулы (1) видно, что
т (gig2) t(x) = А (х, gLg2) f ((gtgj-'x) = А (х, gtg2) i (gT3'g -lx),
T fei) T (g,,) i (x) = Г (gt) A (x, gs) f (g?x) = A (x, gj A (gr‘x, gs) f (gi^x).
§ 2] ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 47
Поэтому, для того чтобы равенство (1) задавало представление группы G,
функция А (х, g) должна удовлетворять функциональному уравнению
Л (х, g?t) = А (х, gj A (g^x, g2). (3)
Справедливо и обратное утверждение: если операторная функция A (x,g)
удовлетворяет условию (3), то равенство (1) определяет представление группы G.
Отметим некоторые свойства функции А (х, g), вытекающие из равенства (3). Полагая g1 = e, ga=g, получаем
А (х, g)=A (х, е) А (х, g).
Поэтому А (х, е) — единичный оператор. Далее, полагая g1=:g, g2=^g~\ получаем
Е = А (х, g)A(g~1x, g-1),
Л'1 (х, g) = A (g-'x, g-1). (4)
Так как множество ЗЯ однородно относительно группы преобразований G, то А (х, g) можно выразить через функцию вида В (g). Выберем некоторую точку а в Зй. В силу однородности Ш1 для любой другой точки х
найдется такое gx, что gx'a=-x. Положив в равенстве (3) gi gs—g,
получим
Л (х, g) = A (g-*a, g) = Л”1 (a, gx) A (a, gxg).
Полагая Л (a, g) — B (g), имеем
•4 (х, g) = В-1 (gx) В (gxg), (5)
где, напомним, g^}a=x.
Из равенства (3) следует, что если h — элемент стационарной подгруппы Н элемента а, то
Л (a, hg) = Л (a, h) A (hr1 a, g) = A (a, h) A (a, g).
Это означает, что
B(hg) = B(h)B(g). (6)
В частности, если hx и h.2 принадлежат Н, то
B(h1h2) = B(h1)B(h;!). (7)
