Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Мы покажем сейчас, что все конечномерные унитарные представления вполне приводимы. Для этого нам понадобится следующая Лемма. Пусть представление T(g) унитарно относительно скалярного произведения (х, у) и ^— инвариантное подпространство в пространстве 2 этого представления. Тогда ортогональное дополнение ^ 2з подпространства ^ также инвариантно.
Чтобы доказать лемму, выберем любой вектор х из 1г2. Тогда для любого вектора у из ^ имеем н силу унитарности 7'(^)
Но в силу инвариантности ^ вектор 7'(ft1) у принадлежит 1^, и потому (х, Т (ft^1) у) = 0, а следовательно, и (T(g)\, у)=0. Этим доказано, что T(g) х? т. е. что — инвариантное подпространство. Лемма доказана.
Заметим теперь, что пространство 2 является прямой суммой подпространства 'jj и его ортогонального дополнения 0а- Поэтому, если подпространство инвариантно, то 2 является прямой суммой инвариантных подпространств и ?2.
При этом сужения представления Т (g) на подпространства и 1г2 также унитарны. Продолжая далее описанный процесс, мы через
‘) Ортогональным дополнением подпространства называют совокупность всех векторов x?t!, таких, что (х, у) = 0 для всех векторов у из ilj.
(T(g)x, у) = (х, T(g ') У).
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
33
конечное число шагов придем к неприводимым инвариантным подпространствам и получим разложение представления Т (g) в прямую сумму неприводимых представлений.
Для бесконечномерных представлений дело обстоит сложнее, поскольку в бесконечномерных пространствах могут существовать бесконечные убывающие цепочки инвариантных подпространств. Поэтому не все бесконечномерные унитарные представления вполне приводимы. Однако во всех случаях, которые нам встретятся, бесконечномерные унитарные представления разлагаются в непрерывную прямую сумму неприводимых представлений (относительно понятия непрерывной прямой суммы представлений см. Дополнение к главе I). Если мера, по которой строится непрерывная прямая сумма, сосредоточена в счетном множестве точек, получается разложение представления в ортогональную прямую сумму неприводимых представлений.
9. Кронекеровское умножение представлений. Определим кронекеровское умножение представлений. Пусть Т (g) и Q(g) — представления группы О, действующие соответственно в линейных пространствах ? и ЭЛ. Каждому элементу g группы О поставим в соответствие оператор R (g) = Т(g) (х) Q (g)— кронекеровское произведение операторов Т (g) и Q (g) (относительно определения кронекеровского произведения операторов и свойств этого произведения см. Дополнение к главе I). Покажем, что R (g) является представлением группы О. Для этого воспользуемся равенством
(АВ) ® (CD) = (А ® С) (В (Э D).
Из этого равенства следует, что
R 0?1й) = Т Сйй) (X) q Сйй)=(т ы т fe)) (X) (Q ы Q ы)=
= (T(gi)®Q(gi))(T(g%)®Q(g2)) = R(g1)R(gi).
Итак, R (gigv) = R (gi) R (gv), т. е. R (^ — представление группы О. Его называют кронекеровским или тензорным произведением представлений T(g) и Q(^).
Кронекеровское произведение классов эквивалентных представлений обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Кроме того, это произведение дистрибутивно относительно сложения представлений
T(g)®{Qi (g) + Q, (g)) =T(g) <g) Q, (g) + T(g) <g) Q, Cg).
Выясним, какой вид имеет матрица кронекеровского произведения двух представлений. Пусть представление Т(g) реализуется в пространстве 2, представление Q(g) — в пространстве Ш и {ег}, <*/} — базисы в этих пространствах. В Дополнении к главе I показано, что в этом случае в качестве базиса в пространстве можно
выбрать e,-0fj. Матричными элементами оператора T(g)® Q(g) в этом базисе являются произведения матричных элементов операторов
34
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
(ГЛ. I
T(g) и Q(g). Таким образом, элементы матрицы оператора R(g) = — T(g)(g) Q(g) нумеруются двумя парами чисел (ij), (km) и имеют вид
1‘ij.km(g) = tik(g)qjm(g)-
10. Характеры представлений. Недостатком матричной записи представлений является то, что она зависит не только от представления, но и от выбора базиса в пространстве представления. При переходе к другому базису матрица представления заменяется эквивалентной ей матрицей. Естественно поэтому изучать функции от матричных элементов, остающиеся инвариантными при переходе от данной матрицы к эквивалентной. Простейшей из таких функций является след матрицы, т. е. сумма диагональных элементов этой матрицы
ТгА = 2“н- (!)
i
След матрицы представления называют характером этого представления и обозначают Xrig)- Таким образом, если (T(g)) = (tu(g)), то
Хт(g) = TJtii(g)- (2)
i
Из свойств следа матрицы вытекает, что характер представления не зависит от выбора базиса в пространстве представления. Поскольку путем выбора базиса можно сделать матрицы эквивалентных представлений тождественными, то характер представления зависит только от класса эквивалентных между собой представлений.
