Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
п -* 00
вытекало lim T(g)xn=T(g)x. Точный смысл этого требования
П-+ 00
также зависит от выбора сходимости в 2.
Далее, ограничимся рассмотрением невырожденных представлений, т. е. потребуем, чтобы операторы Т(g) имели непрерывные обратные операторы.
Итак, назовем представлением группы, О непрерывную функцию T(g) на этой группе, принимающую значения в группе невырожденных непрерывных линейных преобразований линейного пространства 2 и удовлетворяющую функциональному уравнению
Пйй)=Пй)Пй). (3)
Из этого уравнения легко следует, что Т (g~l) = T~l (g) и Т(е)=Е, где е — единичный элемент группы О, а Е — тождественный оператор в 2.
Равенства Т(ftft) = Г(ft) Т(ft) и T(g~l)=T~^ (g) показывают, что Т {g) является гомоморфным отображением группы О в группу невырожденных непрерывных линейных преобразований пространства ?.
Представление T(g) называют точным, если лишь для единичного элемента е из О имеем Т(е) = Е, и тривиальным (или единичным), если T(g) = E для всех элементов g из группы О.
24
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
Линейное пространство ?, в котором действуют операторы Т (g), называют пространством представления T(g). Если это пространство конечномерно, то и представление T(g) называют конечномерным.
В бесконечномерном случае мы, как правило, будем рассматривать представления операторами в гильбертовых пространствах. Лишь изредка придется иметь дело с представлениями в предгильбертовых пространствах, превращающихся в гильбертовы после пополнения по норме вида Ц х (| = ]/"(х, х), -где (х, у) — скалярное произведение в 2.
2. Матричная запись представлений. Представление T(g) группы G определено как операторная функция на этой группе, удовлетворяющая функциональному уравнению
T(glgd=T(g1)T(gd. (1)
Для аналитика более естественно иметь дело с функциями, принимающими числовые значения. Чтобы перейти от абстрактных функций к функциям, принимающим числовые значения, используем матричную запись операторов.
Рассмотрим сначала случай, когда пространство представления
Т(g) конечномерно. Выберем в этом пространстве базис ej, ..., ел. Оператор T(g) переводит элемент базиса е;- в T(g)ej. Разлагая T(g)ej по элементам базиса, получим
П
т (g) е, = 2 hi (g) er (2)
i= i
Тем самым каждому оператору представления T(g)поставлена в соответствие матрица
(T(g)) = (tu(g)), 1 (3)
или, что то же самое, совокупность я2 числовых функций ttj{g) на
группе. Из непрерывности представления T(g) вытекает, что функции ty (g) непрерывны.
Так как при умножении операторов перемножаются соответствующие им матрицы, то из функционального уравнения (1) вытекает система п2 равенств
П
tij (gigs) = 2 hk (gi) hj Ы. 1 < Uj n (4)
ft = l
для функций ti}(g).
Таким образом, можно определить я-мерное представление группы
О как совокупность п2 непрерывных числовых функций tif(g), g(~G, удовлетворяющих системе функциональных уравнений (4), и таких, что Det (tij {g)) ^ 0.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
25
Разумеется, матричная запись зависит от выбора базиса {е,-}
в пространстве представления. Если А — невырожденный оператор, отображающий пространство ? на себя, и f; = Ae;, то в базисе {f;} матрица представления Т(g) имеет вид
(A-^iTigmA). (5)
Здесь через (А) обозначена матрица оператора А в базисе {efe}, т. е. такая матрица, что
П
f/= 1] a!Jer O')
/=-1
Таким образом, при переходе к другому базису в пространстве 2
матрица (T(g)) заменяется эквивалентной ей матрицей.
Ясно, что если — матрица представления Т(g), той (ttj(g))
является матрицей некоторого представления Т(g). Следует иметь в виду, что Т (g) зависит не только от Т(g), но и от выбора базиса в пространстве С.
Если пространство представления Т (g) евклидово, то обычно выбирают в нем ортогональный нормированный базис;
(е„ еу) = 3;/, (7)
где Ьц — символ Кронекера *). В этом случае матричные элементы вычисляются по формуле
ti](g) = (T(g)Zj> е/)- (8)
Чтобы получить эту формулу, достаточно скалярно умножить обе части равенства (2) на е,.
Рассмотрим теперь бесконечномерное представление Т(g). Как уже говорилось, в этом случае будем считать пространство представления гильбертовым. Выберем в гильбертовом пространстве ортонормированный базис { е,-}, i = 1, 2, .,, , п, .., В этом базисе имеем
