Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
i
= Ц Uk = tJk (g~l) = 2 tji (g-1) f,- (eA)
« I
и потому
i
Этим наше утверждение доказано.
28 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП [ГЛ. I
Если в пространстве а представления Т (g) задана невырожденная билинейная форма В (х, у), то каждому элементу у из И соответствует линейный функционал у (х), определяемый равенством
У (х) = В (х, у). (2)
В силу невырожденности формы В (х, у) равенство (2) устанавливает вложение пространства 1* в Щ'.
Сужая представление V (g) на образ V, получаем представление группы G в V. Его также называют сопряженным к Т (g) (относительно билинейной формы В (х, у)).
5. Эрмитово-сопряженные представления. Унитарные представления. Пусть в пространстве задано невырожденное скалярное произведение (х, у) (линейное по х и антилинейное по у). Оператор Л* называют эрмитово-сопряженным оператору А относительно этого скалярного произведения, если для любых двух векторов х и у из имеем
(Лх, у) = (х, Л*у).
Покажем, что если Т(g) - представление группы О в пространстве то Т* (g~l) также является представлением этой группы. В самом деле, так как (АВ)* = В*А*, то
т* (а1) т* (&-*)== [74ft1) 7-fer1)] * = Т* (ft 'ft :l)= Т* [(ftft) '].
Представление Т* (g“*) называют эрмитово-сопряженным представлению Т(g) и обозначают Т(g).
Выберем в пространстве $ базис {е,}, ортонормированный относительно скалярного произведения (х, у), т. е. такой, что (е;, =
Покажем, что в этом базисе матрица представления Т(g) получается из матрицы представления Т(g) путем перехода к эрмитово-сопряженной матрице (т. е. путем транспонирования и замены всех элементов комплексно-сопряженными) и замены g на ft1. Иными словами, покажем, что
В самом деле, из формулы (8) п. 2 имеем
tij(g) = (T(g)ej’ е,)~(Т* (ft1)е;-, е,) = (е;-, T(g \)е,) =
= (Т (g~l) е;> е;) = tn (ft1).
Представление T(g) группы О в пространстве .?) называют унитарным относительно скалярного произведения (х, у), если операторы Т (g) оставляют скалярное произведение инвариантным, т. е. если для всех векторов х и у из ^ и всех элементов g из G выполняется равенство
(T(g)x, T(g)y) = (x, у). (1)
В этом случае имеем T*(g)T(g) = E, и потому Т* (g) = Т~* (g) = = т (g~')-
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
29
Это равенство можно записать в виде T(g)=T(g). Таким образом, представление Т(g) унитарно, если оно совпадает с эрмитово-сопряженным представлением.
Принимая во внимание вид матрицы эрмитово-сопряженного представления в ортонормированном базисе, получаем следующее утверждение:
В ортонормированном базисе матрица унитарного представления унитарна, т. е. такова, что
(2)
Отсюда легко получить, что для этой матрицы выполняются равенства 2 tij{g)ikj(g) = Yitji{g)tjk{g) = bik. (3)
Ясно, что если представление Т (g) унитарно и базис {е*} ортонор-мирован, то и Г(g) (см. стр. 25) унитарно.
Унитарные представления играют весьма важную роль в теории представлений групп. Ниже будет показано, например, что любое конечномерное представление компактной группы унитарно относительно некоторого скалярного произведения.
6. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления. Подпространство пространства представления Т(g) называют инвариантным, если из х ? ?, следует, что для всех g ? О имеем T(g)x ??,. Иными словами, все операторы представления Т(g) переводят векторы подпространства ^ в векторы того же подпространства. Для бесконечномерных представлений мы будем рассматривать лишь замкнутые инвариантные подпространства.
Для каждого представления Т (g) есть по крайней мере два инвариантных подпространства — нулевое подпространство и все пространство ? этого представления. Эти инвариантные подпространства называют тривиальными. Если представление Т (g) обладает лишь тривиальными инвариантными подпространствами, его называют неприводимым. Представление, имеющее нетривиальные инвариантные подпространства, приводимо.
С каждым приводимым представлением Т (g) группы G связаны два новых представления той же группы. Первое из них получается, если рассматривать операторы представления Т (g) лишь на подпространстве Мы будем называть это представление сужением Т (g) на инвариантное подпространство Sj. Второе представление строится в фактор-пространстве 2/2т. е. линейном пространстве, элементами которого являются смежные классы хИз инвариантности g, следует, что оператор Т (g) переводит смежный класс х -J- 2,
30
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
[ГЛ. I
в смежный класс 7(g)х 4 Этим определяется представление группы G в фактор-пространстве 8/8i-
