Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 13

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 241 >> Следующая


СО

T(g) е/= 2 ^vfe)e/- (9)

/-= 1

Умножив обе части равенства (9) скалярно на ег, получим

U] (g) = ('Т (g)е/. ег). 1 =s? г,} < со. (10)

Итак, каждому оператору Т (g) поставлена в соответствие бесконечная матрица (Т(g)) с элементами t^ig). Легко показать, что при умножении операторов матрицы умножаются по обычному правилу,

|0 при ,ф1, J I 1 при I = J.
26 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП [ГЛ. I

т. е. что

00

омг) = 2 ^ fe) fe)- (u)

A = I

В самом деле, по формуле (10) имеем U] (S1S2) = (Т (?,&,) e/t ef) = (Г fe) Т (g2) ef, е,) = (Г fe>) еу, Т (g,)* е,-). (12)

Скалярное произведение векторов Т (g%) е/ и Т (g1,)* е,- выражается следующим образом:

СО

(7'(g\,)e;, 7'(g'1)*ei)= ^ (7'fe) е/, еА) (7 (§7)* e;, е*) =

* = 1

00 '"¦>

= 2 (7’<?s)ey, еА) (7" (?1) еь e,) = tUt(gL) tk, (g2). (13)

k — I * «=» 1

Из формул (12) и (13) вытекает равенство (11),

3. Эквивалентные представления. Пусть T(g)— представление группы G в пространстве S, и ,4 — линейное отображение пространства ?! в пространство 8а, имеющее непрерывное обратное отображение Л-1. Тогда равенство

Q(g) = AT(g)A-1 (1)

определяет представление группы G в пространстве 2а. В самом деле, имеем в

Q Ы Q Ы = Л T(gl) А-1 А Т (&) А-1 = AT (gl) T(g2) А-1 =

= AT(g1g2)A-1 = Q(glg2).

Ясно, что указанным образом можно, исходя из данного представления T(g), построить сколько угодно «новых» представлений той же группы. Эти представления считают эквивалентными Т(g).

Итак, представления Т(g) и Q(g) группы G в пространствах ^ и эквивалентны, если существует линейный оператор А, отображающий ^ в Ра, имеющий обратный линейный оператор АЛ, и такой, что

Q(g) = AT(g)A-\

Понятие эквивалентности представлений рефлексивно, симметрично и транзитивно: каждое представление эквивалентно самому себе; если представление T(g) эквивалентно представлению Q(g), то представление Q(g) эквивалентно представлению T(g); если представление T(g) эквивалентно представлению Q(g), а представление Q(g) эквивалентно представлению R (g), то Т(g) эквивалентно R (g). Поэтому множество всех представлений группы G разбивается на классы эквивалентных между собой представлений. В дальнейшем мы не будем различать эквивалентные представления, т. е. будем изучать свойства классов эквивалентных между собой представлений.
§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 27

Если представления T(g) и Q(g) эквивалентны, то при соответствующем выборе базисов они задаются одинаковыми матрицами. Именно, если в пространстве представления T(g) выбрать базис |еА}, то в пространстве представления Q(g) надо выбрать

базис {^4еА}. Мы имеем

Q(g)Aek = AT(g)ek.

Поэтому, если

T(g)ek = ^]tjk(g)ej,

ТО

Q (g) Ле*_/12 tjk (g) е,- = 2 tJk (g) Aej.

Таким образом, представление T(g) и базисе {е*} имеет ту же матрицу, что и представление Q(g) в базисе {Aek}.

4. Сопряженные представления. Пусть T(g) — представление группы О в пространстве ?. Обозначим через ?' пространство, сопряженное с ?, т. е. пространство линейных функционалов в Равенство

T'(g)i(x) = i(T(gl)x), f? 8', х? 8 (1)

определяет представление группы G. В самом деле, r(ft)rfe)f(x)= T(g,)t(T(gi')x) = t(T(g^) T(g^)x) =

= ЦТ’) х) - Г (&&) f (x),

и потому

T'(gi) Г(й)= T'(gigd.

Представление T’(g) называют сопряженным представлению T(g).

Выберем в пространстве 2 представления Т(g) базис {е,} и обозначим через fk такой линейный функционал, что \k (е;)= bki. Линейные функционалы {Ы образуют базис в пространстве 8', называемый биортсгональным базису {е,}. Мы докажем сейчас следующее утверждение.

Если матрица представления T(g) в базисе {е,} равна (t{j(g)), то матрица сопряженного с ним представления в биортогональ-ном базисе имеет вид (1)). Иными словами, она получается из матрицы (tij(g)) транспонированием и заменой g на g~r.

В самом деле, в силу биортогональности базисов имеем

Г (g) tj (е,) = tj (T(g-') еА) -fy(2 tik (S l) e,0 =
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed