Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ВВЕДЕНИЕ
19
лизируются» операторы T(h). Например, если О—группа вещественных унимодулярных матриц второго порядка, а Н— подгруппа /сos 0 — sin 0\
матриц вида , то возникают функции конуса. Если же
\sin 0 cos 0/
выбрать в качестве Н подгруппу диагональных матриц, то возникает гипергеометрическая функция. Наконец, если Н—подгруппа тре-
11 °\
угольных матриц вида I ^ I, то получаем функции Ганкеля.
Установление связи между матричными элементами представлений и специальными функциями указало общие пути вывода свойств этих функций. Например, из равенства (1) вытекает, что матричные элементы представлений удовлетворяют соотношению
til (gift) = 2 fik Ы hj Ы- (2)
к
Но матричные элементы выражаются через специальные функции. Поэтому формула (2) приводит к формулам для специальных функций. Так получаются, в частности, теоремы сложения для функций Бесселя, Лежандра, Гегенбауэра и др. Если считать один из элементов в равенстве (2) «бесконечно близким к единице группы», то формула (2) превращается в рекуррентное соотношение для соответствующих специальных функций.
Теоретико-групповой подход приводит к естественной трактовке интегральных представлений специальных функций. Если в пространстве представления Т(g) выбран ортонормированный базис {еА}, то матричные элементы задаются формулой
tt/(g) = (T(g)ej, е(). (3)
Но пространство представления чаще всего реализуется в виде некоторого функционального пространства (например, пространства собственных функций инвариантного оператора), а скалярное произведение в этом пространстве — в виде интеграла. Поэтому правая часть формулы (3) выражается в виде интеграла, а левая сводится к специальным функциям. Это дает интегральное представление для специальных функций.
Не всегда можно выбрать базис в пространстве представления так, чтобы элементы заданной подгруппы изображались диагональными (или хотя бы клеточно-диагональными) матрицами. Иногда приходится выбирать реализацию представления, при которой элементы из Н изображаются операторами умножения на функцию (континуальный аналог диагональной матрицы). В этих случаях операторы представления T(g) принимают вид интегральных операторов, ядра которых выражаются через специальные функции. Это приводит к различным интегральным соотношениям между специальными функциями, в частности, к континуальным аналогам теорем сложения.
20
ВВЕДЕНИЕ
Теоретико-групповой подход к специальным функциям тесно связан с гармоническим анализом функций. Рассмотрим в качестве типичного примера представление
7'(ga)/(cP)=/(? + a)
группы вращений окружности (/(о) — функция на окружности, зависящая от угла <р, а ga-~ вращение на угол а). Разложим функцию /(®) в ряд Фурье:
СО
/(?)= I] с»*1"9-
п = — СО
Одномерные пространства функций вида спе1я? остаются инвариантными при преобразованиях T(g„):
T(g) е!п,р = е!п (<Р+а) = einae!n,f.
Говорят, что пространство функций /(ср) на окружности разложено на одномерные инвариантные подпространства, а представление T(g) на представления Tn(ga) — е"1*.
Аналогичная задача возникает во многих иных случаях. Пусть группа О действует на некотором множестве 9.1 i и пусть ? — пространство функций на этом множестве. Требуется разложить это пространство на минимальные подпространства, инвариаитные относительно группы О (т. е. содержащие вместе с каждой функцией / (х) все ее сдвиги f(gx)). По аналогии с рассмотренным выше примером эту задачу называют задачей о гармоническом анализе пространства
В зависимости от свойств группы О возникают различные случаи. Если группа О коммутативна и компактна (к числу таких групп относится группа вращений окружности), получается разложение I' в прямую сумму одномерных инвариантных подпространств. Если же группа G коммутативна, но не компактна, то возникает разложение в «непрерывную прямую сумму» одномерных пространств. Типичным примером является разложение функций на прямой в интеграл Фурье;
00
f(x) = ^ F{\)eUxd'k.
— 00
Функции е1КХ, по которым здесь ведется разложение, задают одномерные представления аддитивной группы вещественных чисел
еП (х+у) _ ei\xei\y
а параметр X, задающий представление, пробегает всю прямую.
Для некоммутативных компактных групп (например, группы унитарных матриц) получается разложение на счетное множество конечномерных инвариантных подпространств. Наиболее сложен гармони-
ВВЕДЕНИЕ
21
ческий анализ для некоммутативных некомпактных г рут (например, группы Лоренца). Здесь обычно возникают разложения в непрерывную прямую сумму бесконечномерных подпространств.
