Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Мы доказали в п. 8, что
Пользуясь этим равенством, легко найти производящую функцию для многочленов Гегенбауэра. Именно, в п. 4 § 8 главы 111 было показано, что
Продифференцируем это равенство р раз по t и применим формулу (1). Мы получим
п=\1 — т\
V г 1 г ^^ т г (g П +р) А T(g-l+\)T(g-m + \)T(g-n+l)
(^(х), (7)
dpPn(t) dtP ¦
0)
со
(1 _ 2th + /г2)- ‘/1 = 2 Лл (0 *"•
1 -г...(2р— 1)(1 — 2^ + /z2)-p-V2 =
п=р
Но в силу фор^лы удвоения для Г-функций
п «= О
§ 5] СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА 487
и потому мы имеем при натуральных р
со
(1 _ 2th + /г2)- р = 2 Сй +1/2 (0 /г'. (2)
л = О
Равенство (2) служит для определения многочленов Гегенбауэра
с любым индексом X. Именно, полагают, по определению,
ОО
(1 - 2th + h?)х = 2 Сп (0 й". (3)
л .= О
Можно показать, что выведенные выше рекуррентные соотношения, дифференциальное уравнение, интегральное представление и т. д. сохраняют силу для многочленов Гегенбауэра с любым индексом X. Из разложения (3) вытекает
k
cl + 4t)= ? с2(*)СЙ_я(*). (4)
л = О
Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, достаточно перемножить разложения (3) и
СО
(1—2th+ #)"»= 2 C»m{t)hm,
т = О
после чего сравнить коэффициенты при одинаковых степенях h.
§ 5. Сферические функции и оператор Лапласа. Полисферические функции
В нашем изложении сферические функции возникли при выборе базиса в пространстгах неприводимых представлений класса 1 группы SO (п). Здесь будет изложен другой подход к сферическим функциям, связанный с разделением переменных для оператора Лапласа в сферических координатах. Кроме того, будут построены другие системы координат на сфере, в которых оператор Лапласа допускает разделение переменных. Это приводит к иному выбору базиса, связанному с полисферическими функциями.
1. Оператор Лапласа на сфере. Выразим оператор Лапласа
д=—¦4- + —
дх\ ^ ^ дх“
в сферических координатах. Известно, что если в ортогональной системе криволинейных координат в Еп дифференциал длины дуги имеет вид
dsa = 2^(Hi> ••• ’ un)difi, (1)
488 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
то оператор Лапласа в этой системе координат выражается формулой
д —1 У 111 (2)
A Li^dui A\dut' w
где
А=1\А;. (3)
1 = 1
При этом инвариантная мера в системе координат Ht, ... , ип имеет вид
dx = Adux ... dttn.
Применим это утверждение к сферической системе координат
в евклидовом пространстве Еп. Из формул (1)п. 1 § 1 легко следует,
что в этой системе
= dr4 + г2 <№п _ 1 + г2 sin20„ _ !d0* _ 2 +... +
-|-г2 sin20„ л... sin202a!0f. (4)
Поэтому оператор Лапласа и сферических координатах имеет следующий вид:
1 А 1 .1. j___________1__________fl_ «in п 20 , —_____L
гп~1 дгт дг ^ г2 sinn”:!e„_1 дьп_, л 1 do„_, 1
j__________}____________^ <-:n пЛ fi ^ |
г2 sin20n_1sin,I“30„„2 dOn„2 л 2 йвп-2 '''
, 1 ds
(°)
1 г2 sin2 0Л_! ... sin20a d0f '
Если функция /(х) в Еп зависит лишь от угловых переменных, то оператор Лапласа от /(х) на единичной сфере выражается формулой Д/ (х)= Д0/(|), где
» 1 ^ sinn_a0 д | _|____________1____________/дч
л-1 /If) _ . Т'"Т s;n2fl_ . cir>2 fl ЛА2 ¦ W
sin" 2Ол_1й0„__1 л_ «вя_, 1 1 sin2 0„_j ... sin2 02 c№f
