Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 202

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 196 197 198 199 200 201 < 202 > 203 204 205 206 207 208 .. 241 >> Следующая


Введем в области координаты, аналогичные сферическим координатам в евклидовом пространстве. По аналогии с п. 1 § 1 главы IX определим эти координаты формулами

x1 = rsh0„.1 sin 0„.._2 ... sin 0S sin 6L, j х.г =r sh 9„ i sin 9„ 2 ... sin Oj cos 01( |

....................................... (1)

! = rsh 0Л_! cos 0„ .2,

.v„ = rch0„_„

где r2 = [x, x].

С точностью до множеств меньшей размерности, формулы (1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между областью и областью Q'n\

О sg г<^ оо,

О Sg 0, < 2тс,

0 < <1Г-0 =s? 9/i-i < оо

изменения переменных г, 01( ... , 0„„i. Иными словами, из областей й„ и Q'n можно удалить множества, размерность которых меньше, чем п, так, чтобы равенства (1) устанавливали взаимно однозначное соответствие между оставшимися множествами.

Определим теперь в псевдоевклидовом пространстве аналог евклидовой сферы (с центром в начале координат). Именно, назовем псевдосферой радиуса R множество точек псевдоевклидова пространства, для которых [х, х] = R1. При этом следует различать псевдосферы положительного, нулевого и чисто мнимого радиусов. Псевдосферы положительного радиуса лежат внутри конуса [х, х] = О, чисто мнимого радиуса — вне этого конуса, а псевдосферы нулевого

1 <^k<^n — 1,

(2)
500 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X

радиуса совпадают с конусом. В соответствии со сказанным выше будем рассматривать лишь части псевдосфер положительного радиуса, лежащие в верхней поле конуса. С точки зрения евклидовой геометрии они являются верхними полами двуполостных гиперболоидов: [х, x] = Ri, *„>0.

На псевдосфере положительного радиуса координата г постоянна. Остальные координаты 01( ... , 0Л , задают систему координат на псевдосфере, которую будем называть системой гиперболических координат.

2. Группа Sff(n). Назовем гиперболическими вращениями псев-доевклидова пространства (вокруг начала координат) линейные преобразования, не меняющие расстояния точек от начала координат, сохраняющие ориентацию пространства и переводящие в себя обе полы конуса [х, х]^>0. Таким образом, при гиперболических вращениях сохраняется билинейная форма [х, у]. Очевидно, что произведение двух гиперболических вращений снова является гиперболическим вращением, равно как и преобразование, обратное гиперболическому вращению. Отсюда вытекает, что гиперболические вращения пространства ЕпЛ, \ образуют группу. Будем называть ее группой гиперболических вращений пространства ЕпЛ х и обозначать SH(n).

Из сохранения билинейной формы [х, у] легко следует, что матрица гиперболического поворота унимодулярна. Отсюда следует также, что гиперболические повороты оставляют инвариантной евклидову меру dx = dxl ... dxn в Еп_1ш \-

Рассмотрим в группе SH{n) подгруппу, состоящую из гиперболических вращений, не изменяющих координаты хп. Так как при гиперболических вращениях не меняется выражение [х, х] =— xf — —...—*л_1-f-*л> т0 эти вращения оставляют неизменным Jtj

jejLi- Иными словами, гиперболическим вращениям, не изменяющим координаты хп, соответствуют евклидовы вращения в подпространстве En__i: хп = 0. Поэтому будем обозначать подгруппу гиперболических вращений, не изменяющих координаты хп, через SO(n—1). Аналогично подгруппу гиперболических вращений, не изменяющих координат ... , хп, будем обозначать SO (п — s).

Покажем теперь, что группа SH(ti) транзитивно действует на верхней поле гиперболоида [х, х]=1. Для этого достаточно показать, что любую точку !($,, ..., $„) этого гиперболоида можно перевести гиперболическим вращением в точку |„(0, ..., 0, 1). Очевидно, что с помощью евклидова вращения из подгруппы SO(n—1) точку | можно перевести в точку rj(0, ..., 0, sh a, ch а), где ch а =

А теперь сделаем гиперболический поворот

Х/i_1 = х^ ch а — хп sh а,

х'п = — sh а -j- хп ch а
§ t] ПСЕВДОЕВКЛИДОЬО ПРОСТРАНСТВО 501

в плоскости хпЛ, хп. При этом повороте точка т) перейдет в Транзитивность группы SH(n) доказана.

Подгруппа SO (n—~ 1) евклидовых вращений оставляет неподвижной точку |л = (0, ..., 0, 1) и, как легко видеть, является стационарной подгруппой этой точки. Отсюда вытекает, что верхняя пола гиперболоида [х, х]= 1, х„^>0 является пространством левых классов смежности группы SH(n) по подгруппе SO(n—1). Именно, каждому левому классу смежности {gh}, h?SO(n—1) соответствует точка псевдосферы, в которую переходит точка при гиперболических вращениях gh из этого класса. При этом преобразованию

{gh} -> ко gh}, h? SO (п — 1),

в фактор-пространстве SH(n)jSO(n—1) соответствует гиперболический поворот псевдосферы.

3. Пространство Лобачевского. Пусть | и tj — две точки псевдосферы [х, х]=1, х„^>0. Тогда имеет место неравенство

[S. (!)
Предыдущая << 1 .. 196 197 198 199 200 201 < 202 > 203 204 205 206 207 208 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed