Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, каждому набору углов {<р* ... * } соответствует точка х единичной сферы. Обратно, легко показать, что для любой точки х сферы S'1-1 найдется набор углов {<р; ... ,• }, для которого справедлива формула (1).
Разумеется, углы {<р,^ ... t } неоднозначно определяются точкой х. Но если наложить на них указанные ниже условия, то почти каждой точке х сферы S'1-1 будут взаимно однозначно соответствовать углы {?/...« }• Эти углы мы и будем называть полисферическими коор-
динатами точки х (они зависят от выбора дерева и соответствия между точками дерева и декартовыми координатами).
Сформулируем теперь условия, налагаемые на углы {срг1 ... ; }-
а) Если /7^...^ = О и = 0, т. е., если у вершины
Xoii ¦ • • ‘т иет ии подчиненных> ни существенно предшествующих, то
Читатель легко проверит, что почти каждой точке сферы (т. е. за исключением точек, заполняющих множество меньшей размерности) соответствует один и только один набор чисел {<р/х ¦¦•!„}> лежащих в указанных границах.
(3)
О <ft ... i О
* *1 * * т ^
(30
в) Если pt ... / ф 0, a qi ... t = 0, то
/ г * 1 m 7 1 т
(3')
(3’")
492 группа вращений л-мерного пространства [Гл. IX
Из определения полисферических координат легко вывести их связь с декартовыми координатами. Например, для дерева, изображенного на рис. 8, имеем:
х0= cos <р3 cos ср.2 cos ср1;
*оз= sin ср3,
хш = cos ср3 sin <р.2 cos <ра1,
*01 = cos ср3 cos ср2 sin cpj cos cos сри,
*021= cos cp3 sin cp.2 sin cp2I,
*012= cos Ъ cos Ъ sin ?i sin ?ia>
jcou = cos cp3 cos cpa sin cp, cos cp13 sin cpu.
Обычные сферические координаты являются частным случаем полисферических. Они соответствуют дереву
*0 —> *01 —> *011 -**¦...—*¦ *0111 . . . I-
3. Дифференциал длины дуги и оператор Лапласа в полисферических координатах. Пользуясь выражением (2) п. 2, связывающим декартовы и полисферические координаты, легко получить вид дифференциала длины дуги в полисферических координатах. Он имеет следующий вид. Каждой координате *о/ ...» ' поставим в соответствие выражение
d?it + sin Ч ... im (•) ¦+ cosy х ...«„(•)• (1)
Если существует координата х01^ ... t , то надо подставить эго выражение в скобку для координаты х0!^ ,.. ; , имеющую коэффициент cos2 <р; ... . Если же такой координаты нет, го выражение
(1) подставляется в скобку для координаты *0^...* > имеющую
коэффициент sin2cp(- . После того как все подстановки выпол-
нены, оставшиеся пустыми скобки приравниваются нулю.
Например, для дерева, изображенного на рис. 8, имеем
ds3 = df3 + cos2cp3 { d<?l + sin У^ср!,
-f cos^ [rfcpf -f sin У (dfn -f cos4 «p^dcpi,)] }•
Поскольку выражение, получающееся после раскрытия скобок в ds*, не содержит членов с произведениями координат, полисфери-ческая система координат ортогональна:
ds* = V А; ... i d<ft .
1 т т 1 т
(2)
§ 5) сферические функции и оператор лагтласа 493
Значение коэффициентов А/ ... im определяется при этом формулой •)
А2. .. =
JJ cos2ср^ ...js Д sin2<pfei...(3)
^«1 • • • lm Sn • •• ‘т
Из выражения (2) вытекает, что инвариантная мера на сфере Sn 1 выражается в полисферических координатах формулой
= (4)
где произведение распространено на все вершины дерева, имеющие ненулевой ранг. Это выражение может быть записано в следующем виде:
dx = Ц cos*! • • •1т ^ ... Im sin 9‘1 • • • ^ _ imdTli... 1т, (5)
где произведение распространено на все углы, соответствующие данному дереву (относительно обозначений и. см-
стр. 490).
Например, для дерева на рис. 8 имеем
dx = cos6cp3 cos3cp<j sin <p2 sin2 cp, cos ср12 d<?tl dy^ d<p,u </cp, </cp2 d<p3.
Исходя из выражения для ds*, легко получить формулу для оператора Лапласа Д0 на Sn l (см. формулу (2) п. 1).
Например, для дерева на рис. 8 получаем:
