Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Hnl(g)f(x)=f(g~ix) (1)
группы SO (ti) в пространстве lQnl однородных гармонических многочленов. Пусть F\ (х') и F, (х')— функции из пространства W11. Возьмем многочлены (х) и /j (х) из пространства Шп!, такие, что Qfj (х) = = Fj(xr), j= 1, 2. Тогда инвариантное скалярное произведение в пространстве W11 определяется формулой
<Fi, Fi) = (Qf1, Qfi) — (Hfu Я/а)= J НА (1) НЩ)с11 (2)
Sn-1
(Hf(x)— гармоническая проекция многочлена /(х)).
.4]
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА
473
Нашей целью, однако, является получение иной записи для скалярного произведения (Ft, F%). Именно, в силу равенства (2) п. 5 любая функция F (х') на Шп1 может быть представлена в виде
F(x') = 2 (irn^mhm(xr), (3)
тп = О
где hm (х') ^ ’•т. Мы хотим выразить (Fb Fа) через функции
hm (х') и hm (х'), входящие в разложение (3) функций Fx (х') и Fa(x').
Сначала рассмотрим сужение представления Rnl (g) на подгруппу SO (ti— 1). Это сужение задает в каждом из подпространств (fr„_1)i-m.?jn~1>т представление, эквивалентное неприводимому представлению Tn l’m(h) группы SO(ti—1). Но инвариантное скалярное произведение для представления Тп~л-т(К) имеет вид
(?i. ?а)= $ ?i (Ю ?а (I') dl' (4)
sn-S
(см. п. 7 § 2). Отсюда без труда получается, что искомое инвариантное скалярное произведение в пространстве Шп1 имеет вид
(Рь FJ= S <*m $ h’A'(l')h^jdl' (5)
m = 0 sn-i
(cm. n. 3 § 3 главы I).
Нам осталось найти коэффициенты ат. Возьмем некоторую функцию F (x') = (irn_iy~mhm(x’), где hm (х') ^ ф"-1'т. Мы имеем
(6)
(F, F) = am $ | hm (I') р d%.
Но по формуле (1) п. 4 F(x') = Q[jc„ mhm(x’)], а гармоническая
проекция многочлена xln mhm(x’) вычисляется по формуле (9) п. 5 § 3:
H[xl-mhm{x’)\ =
2l-mT('L_jL+ i
Используя формулу (7), получаем следующее равенство:
«т S \К(%)? =
2'"“Г 1%-? + I
-+т
?n)hm(*Tdl, (8)
где х'= (.*!, Х^х), | = (АГ!, хп_и ?„) и III II =1.
474 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ Л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [Гл. IX
Нормируя вектор х, получим вектор
X'
S':
Vi-ej
В силу однородности многочлена hm(x') имеем
ГП
/гт(х') = (1-ШЧлСЮ- (9)
Наконец, примем во внимание, что нормированная инвариантная мера d\ на сфере Sn l выражается через координату \п и нормированную инвариантную меру d%’ на по формуле
Г (т) л—3
г ~ V*
Отсюда вытекает, что интеграл в правой части равенства (8) может быть записан в виде
г i [<й+” (wfo -
V я - 1 L 1
vm
X $ IA„(SONS'. (П)
sn~,J
В силу соотношений нормировки для многочленов Гегенбауэра (формула (5) п. 4 § 3) получаем из формул (8) и (11)
Г У"п (1 — т)\ (я + / + т — 3)!
- — (12)
2./+»-, Г p_J j г (¦?+/) Г (+ /j
• Отсюда вытекает следующее выражение для инвариантного скалярного произведения в пространстве Шп1:
ГЙ)Г(/+Я~2
(Fb --------—пт Ч ¦ X
г\-^г) г(/ + т) (2' + «~3)!
х 2 (1—т)\(п + 1+т —3)! $ й^бО^ЧбО^'. (13)
m = О
где
/7 00 = Ц (^n i)' m^(S0 (И)
ffl = о
(мы применили здесь формулу удвоения для Г-функции).
§ 41 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 475
Из формулы (13) вытекает, в частности, что
г (т)г(/+Ч~г '
(F, hm (х')> =.Yn^_f\ —r-^--------X
r(V)r('+^)(2/+"-3)!
х (/-«)!(/+ п + /И-3)! $ F(l')hJ%jdt (15)
Для доказательства достаточно принять во внимание формулу (13) и попарную ортогональность подпространств (1Гп_\У~т^п"1-т.
Наконец, построим в пространстве 2lni ортогональный нормированный базис относительно скалярного произведения (13). Из равенства (2) вытекает, что в качестве такого базиса можно выбрать функции вида
Еуи (х') = QE^ (х), (16)
где Еуц(х) — построенный в п. 6 § 3 ортогональный нормированный базис в пространстве Jr>nl.
Функции Н^(х') легко записать в явном виде. Для этого вспомним, что по формуле (8) п. 5 § 3 функции