Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 192

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 186 187 188 189 190 191 < 192 > 193 194 195 196 197 198 .. 241 >> Следующая


Hnl(g)f(x)=f(g~ix) (1)

группы SO (ti) в пространстве lQnl однородных гармонических многочленов. Пусть F\ (х') и F, (х')— функции из пространства W11. Возьмем многочлены (х) и /j (х) из пространства Шп!, такие, что Qfj (х) = = Fj(xr), j= 1, 2. Тогда инвариантное скалярное произведение в пространстве W11 определяется формулой

<Fi, Fi) = (Qf1, Qfi) — (Hfu Я/а)= J НА (1) НЩ)с11 (2)

Sn-1

(Hf(x)— гармоническая проекция многочлена /(х)).
.4]

МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА

473

Нашей целью, однако, является получение иной записи для скалярного произведения (Ft, F%). Именно, в силу равенства (2) п. 5 любая функция F (х') на Шп1 может быть представлена в виде

F(x') = 2 (irn^mhm(xr), (3)

тп = О

где hm (х') ^ ’•т. Мы хотим выразить (Fb Fа) через функции

hm (х') и hm (х'), входящие в разложение (3) функций Fx (х') и Fa(x').

Сначала рассмотрим сужение представления Rnl (g) на подгруппу SO (ti— 1). Это сужение задает в каждом из подпространств (fr„_1)i-m.?jn~1>т представление, эквивалентное неприводимому представлению Tn l’m(h) группы SO(ti—1). Но инвариантное скалярное произведение для представления Тп~л-т(К) имеет вид

(?i. ?а)= $ ?i (Ю ?а (I') dl' (4)

sn-S

(см. п. 7 § 2). Отсюда без труда получается, что искомое инвариантное скалярное произведение в пространстве Шп1 имеет вид

(Рь FJ= S <*m $ h’A'(l')h^jdl' (5)

m = 0 sn-i

(cm. n. 3 § 3 главы I).

Нам осталось найти коэффициенты ат. Возьмем некоторую функцию F (x') = (irn_iy~mhm(x’), где hm (х') ^ ф"-1'т. Мы имеем

(6)

(F, F) = am $ | hm (I') р d%.

Но по формуле (1) п. 4 F(x') = Q[jc„ mhm(x’)], а гармоническая

проекция многочлена xln mhm(x’) вычисляется по формуле (9) п. 5 § 3:

H[xl-mhm{x’)\ =

2l-mT('L_jL+ i

Используя формулу (7), получаем следующее равенство:

«т S \К(%)? =

2'"“Г 1%-? + I

-+т

?n)hm(*Tdl, (8)

где х'= (.*!, Х^х), | = (АГ!, хп_и ?„) и III II =1.
474 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ Л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [Гл. IX

Нормируя вектор х, получим вектор

X'

S':

Vi-ej

В силу однородности многочлена hm(x') имеем

ГП

/гт(х') = (1-ШЧлСЮ- (9)

Наконец, примем во внимание, что нормированная инвариантная мера d\ на сфере Sn l выражается через координату \п и нормированную инвариантную меру d%’ на по формуле

Г (т) л—3

г ~ V*

Отсюда вытекает, что интеграл в правой части равенства (8) может быть записан в виде

г i [<й+” (wfo -

V я - 1 L 1

vm

X $ IA„(SONS'. (П)

sn~,J

В силу соотношений нормировки для многочленов Гегенбауэра (формула (5) п. 4 § 3) получаем из формул (8) и (11)

Г У"п (1 — т)\ (я + / + т — 3)!

- — (12)

2./+»-, Г p_J j г (¦?+/) Г (+ /j

• Отсюда вытекает следующее выражение для инвариантного скалярного произведения в пространстве Шп1:

ГЙ)Г(/+Я~2

(Fb --------—пт Ч ¦ X

г\-^г) г(/ + т) (2' + «~3)!

х 2 (1—т)\(п + 1+т —3)! $ й^бО^ЧбО^'. (13)

m = О

где

/7 00 = Ц (^n i)' m^(S0 (И)

ffl = о

(мы применили здесь формулу удвоения для Г-функции).
§ 41 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 475

Из формулы (13) вытекает, в частности, что

г (т)г(/+Ч~г '

(F, hm (х')> =.Yn^_f\ —r-^--------X

r(V)r('+^)(2/+"-3)!

х (/-«)!(/+ п + /И-3)! $ F(l')hJ%jdt (15)

Для доказательства достаточно принять во внимание формулу (13) и попарную ортогональность подпространств (1Гп_\У~т^п"1-т.

Наконец, построим в пространстве 2lni ортогональный нормированный базис относительно скалярного произведения (13). Из равенства (2) вытекает, что в качестве такого базиса можно выбрать функции вида

Еуи (х') = QE^ (х), (16)

где Еуц(х) — построенный в п. 6 § 3 ортогональный нормированный базис в пространстве Jr>nl.

Функции Н^(х') легко записать в явном виде. Для этого вспомним, что по формуле (8) п. 5 § 3 функции
Предыдущая << 1 .. 186 187 188 189 190 191 < 192 > 193 194 195 196 197 198 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed