Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
причем [|, tj] = 1 тогда и только тогда, когда | = т).
В самом деле, из того, что [§, §] = [т), т|] = 1, следует
?л = Vl + 5J + ••• + ?л — 1 И Ч]л = У 1 Т]| + VJ/X — 1 •
Поэтому, по неравенству Буняковского — Шварца,
1 + 6^ + • • • + ?„-1 -Чп-i ^ V 1+5!+... + 6>~ VT= in-ч п,
следовательно, ^ ^
Л] == * * * ?/1-1 "Ь ^пЧп ^
Равенство в (1') достигается лишь, если ?1 = тц, ... , 5n-i = in-i. Н° тогда Zn = rln, и потому § = ti-
Из неравенства (1) следует существование единственного числа г;> 0, такого, что
ch kr=[\, tj] (2)
(k — фиксированное положительное число). Назовем г расстоянием между точками | a tj псевдосферы.
Легко показать, что при этом псевдосфера превращается в рима-ново пространство постоянной отрицательной кривизны. Это пространство называют (п—1 у мерным пространством Лобачевского и
обозначают Ап~л(Щ, где % = -?¦
Группа SH(ri) состоит из преобразований пространства Лобачевского, сохраняющих метрику и ориентацию, т. е. является группой
602
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ
[ГЛ. X
движений (л— 1)-мерного пространства Лобачевского Л” 1 (подобно тому как группа SO(л) является группой вращений л-мерного евклидова пространства Еп и в то же время группой движений (л—1)-мерной сферы S'1:-1).
Наряду с описанной моделью пространства Лобачевского иногда бывают полезны другие модели этого пространства. Рассмотрим в пространстве Еп Л, х совокупность прямых, проходящих через начало координат и лежащих внутри конуса [х, х] = 0. Определим расстояние г между такими прямыми формулой
ch?r = —-[х,у] (3)
К[х, х][у, У]
где х и у — точки, лежащие на этих прямых. Легко видеть, что расстояние г между прямыми не зависит от выбора точек х и у на них. Но если выбрать на прямых точки их пересечения с гиперболоидом [х, х] = 1, то равенство (3) примет вид ch kr=[x, у], т. е. совпадет с формулой (2). Отсюда вытекает, что множество прямых, лежащих внутри конуса [х, х] = 0 с метрикой, задаваемой формулой (3), является другой моделью пространства Лобачевского.
Другие модели пространства Лобачевского получаются следующим образом. Проведем внутри верхней полы конуса [х, х] = 0 какую-либо поверхность, пересекающую каждый луч, выходящий из начала координат, в одной и только одной точке. Каждой прямой, лежащей внутри конуса [х, х] = = 0, поставим в соответствие точку ее пересечения с этой поверхностью. Мы получим тогда модель пространства Лобачевского в виде множества точек поверхности. Исходная модель пространства Лобачевского получается, если выбрать в качестве этой поверхности верхнюю полу гиперболоида [х, х] = 0.
Отметим еще одну модель пространства Лобачевского. Проведем плоскость хп=\. Очевидно, что эта плоскость пересекается с конусом [х, х] = = 0 по сфере радиуса 1. Тем самым пространство Лобачевского интерпретируется как внутренность (п—1)-мерного шара радиуса 1. Расстояние ме-жду точками этого шара определяется формулой
chkr= , (4)
у 1 — (X’, X’) у 1 — (у', у')
где положено \'=(хи ... , хп^), у’ = (уи ... , уп-1), (х’, У') = *иу1 + ...+ + X п—1_Ул—1*
Введем понятие абсолюта пространства Лобачевского. Возьмем две прямые, проходящие через начало координат, и будем приближать одну из них к конусу [х, х]—0. Из формулы (3) видно, что при этом расстояние между прямыми будет стремиться к бесконечности. Таким образом, прямые, лежащие на конусе [х, х] = 0, являются бесконечно удаленными точками пространства Лобачевского. Множество всех бесконечно удаленных точек и называется абсолютом. Таким образом, при реализации пространства Лобачевского как пространства прямых, абсолютом является множество прямолинейных
§ ч ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО 503
образующих конуса [х, х] = 0. При реализации же пространства Лобачевского внутри единичного шара абсолют изображается единичной сферой.
4. Углы Эйлера в группе SH (ti). Введем параметры в группе SH(n), аналогичные углам Эйлера в группе SO(n) вращений евклидова пространства. Сначала докажем, что любой элемент g группы SH(n) можно записать в виде
ё=ё\(^\~1) ••• ёп лФп-Х)К (1)
где h(^SO(n—1), gk(a) при k<^n—1 обозначает вращение на угол а в плоскости (xkJrX, xk), a gn_\(a)— гиперболическое вращение на «угол» а в плоскости (хп, хп л)\
х^1 = хпЛсЬа~{-хп sha, х’п = хп Л sh a -}- хп ch a.
В самом деле, пусть g—элемент группы SH(n). Обозначим через
9"..., 9л —J гиперболические координаты точки g\n, где
|„ = (0, ..., 0, 1). Простой подсчет показывает, что 1?|л = ?'(”~1)1л’ где
