Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
0)
где
Os?0
ik'-
к
к,ф\, 0 sg: (p! ^ 2it,
г, k Ф 1, 0 ^ 0j 2ir.
(2)
484 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
Легко проверить, что нормированная инвариантная мера на сфере Sn~l выражается в бисферических координатах следующим образом:
г (т)
d\ = ~'2~n/2 sinm 1 а cos п т 1 а sin т 2 ®т-1 ¦ ¦ • sin
X sin л-'"“4 ф„.._гя_1 ... sin da ddt... d0m_, <% ... (3)
Вычислим в бисферических координатах интеграл (4) из п. 7. Так как на сфере Sn~2 имеем r„_i = 1 и = cos a cos фл_т_2, то, учитывая формулы (1), (4) и (5) из п. 7 и равенство (3), получаем
Cf (cos ?) =---------Г(2/±() ---------- х
2sp'!TWr(|)r (p~y)
тс
2 тс
X 5 §(C0SIP — i siti ip cos a cos ф/sinm_1 acosip"’a sin2!>~m 1 ф ofyda (4)
о 0
(мы выполнили здесь интегрирование по координатам 0t...............©m—i и
^li • • • i фл-т-з)-
Проинтегрируем теперь по ф. Для этого вынесем сначала за скобки (cos2 ср -)- sin3 ср cos2 а)г/2 и положим
т = 2р—-2q, — ^os У —.......= cos fi,
у cos2 ср —sin2 ср cos2 а
sin ср cos а
У cos2 ср —f- sin2 ср cos2 а
Применяя формулу (6) из п. 7, получаем
Cf (cos »)- ?^/]Г(0)Г(2р + О Cl (COS'?) T(p)T{p_q)T{2q + i) x
= Sin Й.
X ^ cf(—===^=|===](cos,<p + sin>cos2a)2 X
J \y cos2 cp -f- sm2 cp cos2 a)
0
X ( sin a)2p~^? 1 cos27 a da. (5)
Отметим частный случай формулы (5). Так как lim Г (q) Cf (cos f)=
о
_2j|os/cp^ TQ при q~o формула (5) принимает такой вид:
ТС
2*
ГР , s____ 22~~2^Г (2р + /) С Т (_________________COS ср__________\ v
l (COS cpj Г2 (р) Г (/ + 1) ' 1 \ cos3 ср sin2 ср cos2 a /
о
X (cos2 <р sin2 <р cos2 a)2 cos*p_1 a da. (5')
§ 4] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 485
Здесь Tt(x) — многочлен Чебышева:
Tt (х) = cos (/ arc cos x).
Отметим следующий интеграл, обобщающий интеграл (5) из п. 5 § 8 главы III. Если I-|- т. -(- п = 2g, где g — целое число, и если существует целочисленный треугольник со сторонами I, т, п, то
I _i_
D(l,m,n,p) = J Cf (х) Срт (х) Срп (х) (1 — xrf 2 dx =
— I
V~ViX<g + 2p)T(g-l+p)T(g-m+p)T(g-n+p) „
[r(^)]4rte-/+i)r(g-m+i)rfe-n+i)rfe+p+i) • w
В противном случае интеграл (6) равен нулю.
Обращение в нуль интеграла (6) в случае, когда 1-\-т-\-п не
является четным числом, вытекает из того, что функция С„(х) имеет
1
ту же четность, что и л, а интеграл равен нулю, если
— 1
функция ср(х) нечетна. Если не существует треугольника со сторонами I, т, п, то интеграл (6) равен нулю в силу соотношений ортогональности для многочленов Гегенбауэра.
Рассмотрим теперь случай, когда I-\- т-\-п = 2g, где g — целое число, причем существует треугольник со сторонами /, т, п. Проведем в этом случае доказательство формулы (6) с помощью индукции по I. При /=0 имеем m = n = g, а потому формула (6) принимает вид
0(0, п, ,) = j«МГ 0-4~'^dx= ы + -(6,)
Справедливость формулы (б) в этом случае следует из равенства (5) п. 5 § 3.
Предположим теперь, что формула (6) справедлива для всех натуральных чисел, меньших I. Применим к интегралу (6) рекуррентную формулу (10) из п. 3 § 3:
Cf (х) = VS+jzzAxcf , (х) -3?i±zl Cf-2(x)
сначала для замены Cf(х), а потом для замены х(?п(х). Мы получим D(l, т, п,р)= 0(1 — \, т,п-\-\,р)-\-
+ (Р±1^т±^^°{1_^т,п-\,Р)-
— 2p~b--~2 D (1—2, т, п, р).
486
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IX
Подставим в правую часть вместо D(l—\,т,п-\-\,р) и т. д. их выражения по формуле (6) (что можно сделать по предположению индукции). После простых преобразований получим выражение (6) и для D (/, т, п, р).
Несомненно, формула (6) связана с кронекеровским умножением представлений группы SO(n) и дает выражение одного из коэффициентов Клеб-ша-Гордана для этого произведения. Было бы весьма интересно построить общую теорию кронекеровских произведений для представлений группы SO (п).
В силу соотношений ортогональности для функций Гегенбауэра получаем из формулы (6) следующее разложение:
l-j-m
где l-\- m-\-ti=2g, а сумма распространена на значения п, имеющие ту же четность, что и 1-\-т.
12. Производящая функция для многочленов Гегенбауэра.
