Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
496 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
Теперь рассмотрим случай, когда рф 0, но q = О, и потому s = 0. В этом случае решения (3) и (4) принимают вид
fr — l — р — / — г 1
Ч\ -- LUb Y1
и
H2 = tg<pcosJ<p/?(-—1 --pJ"!)4-r-; — tgacp). (10)
Эти решения непрерывны и однозначны при ср = 0. При <р=у для
любого целого I, такого, что l^r, непрерывно только одно из двух решений (9) и (10)—при четном значении I—г — первое, а при нечетном— второе. Если I—r = 2k, то непрерывное решение имеет вид
ai=co^r<fF[-k, -A-f; — tg2cp), (11)
а если I—r = 2k-\-\, то вид
iuj = sin ср cos2* + г ср/7 ^— k, -^E — k—r- — tg'2 ср^. (12)
Наконец, если р ф 0, q ф 0, то непрерывные и однозначные решения существуют тогда и только тогда, когда причем
I—s — г — четное число: I — s—r = ‘lk. Они имеют в этом случае вид
и = sin4 ср cos2* + rcpр(—k, 1 р — k — г; s -|- —4 1; —tg2 cp). (13)
Мы доказали, таким образом, что система чисел A ={h ...г } тогда и только тогда является системой параметров разделения для уравнения (1), когда все числа {//...*} являются целыми, причем:
а) h ...! 5*0, за исключением случая, когда р; —
= qr ...<•= О-
1 1 т
б) Имеет место неравенство
h ... ( I h ... г — 1 j “I- I А* . ( ( |. (14)
1 " т 1 1 т 1 1 1 1 • • т т +1 1 v '
Выясним, наконец, какой вид имеют собственные функции оператора Д0, соответствующие данному набору Л = {/^.../ } параметров разделения. Обозначим через Uii... % (ср) непрерывное и однозначное решение уравнения (1) при значениях параметров р, q, г, I, s, даваемых равенством (5). Собственной функцией оператора Д0, соответствующей набору {/,• }, является
^®=Пм, (14
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА
497
где произведение распространено на все вершины ненулевого ранга. Функции Кд(|), соответствующие всем допустимым наборам Ь
назовем полисферическими функциями, соответствующими данному дереву. В случае, когда дерево имеет вид, изображенный на рис. 8, полисферические функции совпадают с обычными сферическими функциями на S'1-1.
Нетрудно показать, что система полисферических функций, соответствующих данному дереву, ортогональна на сфере S’1-1. В этом можно убедиться, используя соотношения ортогональности для многочленов Якоби и выражения для решений уравнения (1).
ГЛАВА X
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ
«-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Связь теории функций Лежандра с теорией представлений групп была уже нами рассмотрена в главах III и VI. В главе III было показано, что свойства присоединенных функций Лежандра Р™ (х) с целым и полуцелым индексом I могут быть выведены из рассмотрения представлений группы S(J(2) унитарных унимодулярных матриц второго порядка (или, что то же, представлений группы SO (3) вращений трехмерного евклидова пространства). В главе VI было показано, что многие свойства функций ф™(*) с любым индексом / и "целым т выводятся из теории представлений группы Q(J(2) квазиуни-тарных матриц. Эта группа локально изоморфна группе SH(2) движений плоскости Лобачевского.
Дальнейшие свойства функций ф™(х) можно вывести, изучая представления группы SH(n) движений л-мерного пространства Лобачевского, что и будет сделано в данной главе.
§ 1. Псевдоевклидово пространство и гиперболические вращения
1. Псевдоевклидово пространство. Псевдоевклидовым пространством сигнатуры (п—1, 1) называется л-мерное вещественное линейное пространство Еп^х v в котором задана билинейная форма
[х, у] = — х,_у, — ... — xn_iyn__i -f хпуп.
Эта форма является аналогом скалярного произведения в евклидовом пространстве. С помощью билинейной формы [х, у] в пространстве ?¦„_! i можно определить расстояние между точками, положив
г2(х, у) = [х —у, X—у].
В отличие от случая евклидова пространства, в псевдоевклидовой пространстве расстояние между точками может быть как положительным, так и нулевым и даже чисто мнимым.
ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
499
Точки, лежащие внутри конуса [х, х] —О, находятся на положительном расстоянии от начала координат О, а точки, лежащие вне этого конуса — на чисто мнимом расстоянии. Точки же самого конуса находятся на нулевом расстоянии от начала координат. Точки, лежащие на положительном расстоянии от начала координат, распадаются на два несвязных множества — точки, лежащие внутри верхней полы конуса (т. е. такие, что х„^>0), и точки, лежащие внутри нижней полы конуса (т. е. такие, что х„<^0). В настоящей главе нас будут в основном интересовать точки пространства Еп^ i, находящиеся внутри верхней полы конуса. Для таких точек выполняются неравенства [х, х]^>0, хл^>0. Будем обозначать эту область через 2„.
