Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
x‘n~mhm(x') и — -------7^Г2----- \ Г‘ mQl - т тК(Х')
2^тГ f !_?+/)
лежат н одном и том же смежном классе по г1 ЗЯ"*1Поэтому оператор Q переводит их в одну и ту же функцию. Следовательно,
л —2 21~т Т (п 2 4-
Q к”СГ„,+ “(^)м*')]=-------------------\„2_2
2l-mT(^=l+ /j
(I — m)ir i~~2----------m )
(lrnJ-mhm(xy (17)
476 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
Применяя равенство (17) к формуле (16), получаем при М = = (tn, пц,, ..., ± tnn_q) (см. формулу (4) п. 6 § 3)
21-"Т +1)
&м (*') -----------Тп — 2 ~ \ (irn-J~m X
п— 3
л—/ —
X П г”': Л" V4,+”№(гт/) =
2i-1r 4- i] i
4 2 Г (2l + n-2)T(n-\) ]2
------ - - (^л-l) ^(x), (18)
rJ|_j |T(/ + n + m-2)(/-m)IJ
где x' = (x1; ..., x„_i) и = ±тп_л)-
Очевидно, что Е^ц (х') ? (irnS)l~mlQn~1' т> и потому
/С 6* \____ [тсГ(я— 1) Г (/ + «+« — 2)(/— т)\(21-\-п — 2)] 2 sm_j ч/
v> ‘-‘¦М/— !П — 1 \ / п\ 1 А
('+т)
X s Frt'ts» ®)<гг. (19)
7. Интегральное представление многочленов Гегенбауэра. Мы
можем теперь вывести интегральное представление для многочленов Гегенбауэра. Воспользуемся для этого равенством (6) п. 1 § 3, записав его в виде
Cf (cos ?) = too [ft, (?)], (1)
где п — 2р-\-2 и = g'„(ip) — вращение на угол у в плоскости (‘лг„, л:,,^). Но в силу унитарности представления Tnl (g) имеем
tnoo (?)] = {Tnl [gn (®)] Zl0! El0). (2)
Из равенства (2) п. 6 вытекает, что формулу (2) можно переписать
в виде
tg0[gn(<?)] = (Rnl[gn(?)]%, %)¦ (3)
Так как О = (0, ..., 0), то Е^(^') —1.
Применяя формулу (19) п. 6, получаем
% [gn (*)] = X
2*ЧТ (/, + -!-) Г(/ + /,+ 1)
X 5 Rnl[gn(?)]%(V)dl'. (4)
§ 4] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 477
Из формулы (18) п. 6 следует, что
_ 2'-]Г(р + 1) [(21 + 2р) Г (2р + 1)1Т„
г (р+1) | г (/+2р) i\ J
и потому
Rnl [&,(?)] й'(х') =
2^-4 (р + 1) Г(21 + 2р) Г (2р + 1) -JT Г (р + 1) L Г(/ + 2р)Л
] 2 (¦*„ -1sin ? + irn-\ cos ?У- (5)
Подставим это выражение в формулу (4) и перейдем к сферическим координатам. На сфере Sn~2 имеем = 1 и хпЛ = cos 0„;;2, а
Г 1п~
d% = —х п2_ 1' sin"'3 0„ л ... sin 02 dOj ... МпЛ.
2я 2
Поэтому, учитывая равенства (1) и (4), получаем
ТЕ
Cf (cos ?)=2^ТГЩ71 ^ (cos — isincp cos 0)г sin^ ‘0 c?0. (6)
о
Полученное интегральное представление многочленов Гегенбауэра является частным случаем более общей интегральной формулы. Чтобы вывести ее, воспользуемся равенством
*мо [&.(?)] = &п‘ \Sn (?)] Sy. (7)
Как было показано в п. 1, если М = (т\, ..., ±/и„_2) и О,
то tfy0 [gn (ip)] = 0. Поэтому мы можем считать, что М = (т, 0,... , 0). •В этом случае по формуле (9) п. 1 имеем ^0[gn(?)] =
2тТ (р + m) -j Г 11(1— т)!Г (2р) Г (2р + т—1)(2р + 2/л—1)
— Tjpj V т\Т (2р + m + I) Г (2р +1) ‘ Х
X sinmtpCfiTm (cos ср). (8)
Сравнивая равенства (7) и (8) и используя для вычисления скалярного произведения в формуле (7) равенство (15) п. 6, получаем
т!Г(р — Г(2р + и + /)гт
sinm?Cf±?(cos <р)=---------)=---^------------------- X
г тк rj 2m+1 Y я Г (р + m) /1Г (2р + m — 1)
1
Р~
X 5 (cos — i sin cos б/ Cm 2 (cos 0) sin2p 10 dd. (9) о
478 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ я-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
Совершенно аналогично из соотношения
*М0 (?)] = 1ом [«¦» (- ?)] = < Tnl ISn {— ?)] Чг Ц)
ВЫВОДИТСЯ, что
. —-=-)Г(2/?+/)Гт
sinm ?Cf+т (cos <р) =-------------?=—^И-----------------------------X
2«»+i / яГ(р+ т)(/ — т)\Т(2р + т — 1)
