Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Из формулы (4) легко вывести выражение матричных элементов t^Q(g) чеРез углы Эйлера вращения g. Именно, в п. 3 § 1 было показано, что углы Эйлера 0f~\ , 0"z[ равны сферическим координа-
там точки g?,n сферы S"-1. Выражение же 2^(1) через сферические координаты точки | дается формулой (4) п. 6 § 3. Подставляя соответствующие значения, получаем, что если углы Эйлера вращения g равны 0?( то
fni (V)___~\[_________/IГ (га 1)______щ у
LMO W у г(/ + п — 2)(2/ + га — 2) М -л-
X Ц (cos fl »-yL,) sin 0"z)_, T’. (7)
где AlM выражается формулой (5) п. 6 § 3 и Ж = (ть н- /я„_2),
тй = 1.
Отметим некоторые частные случаи полученной формулы. Если М = О = (0, ..., 0), то все сомножители в формуле (7), для которых />0, равны 1 (CJ(cos6)=l и sin0 0=1). Поэтому
*оо = г (п i________2)^1 2 (cos^_l)- (8)
Мы видим, таким образом, что матричный элемент ^(g) канонической матрицы представления Tnl (g) зависит лишь от угла Эйлера 0"~i.
Вычислим еще значение t%0(g) для случая, когда g=gn (ср)— вращение на угол ср в плоскости (хп, a:„_i). В . этом случае все углы Эйлера вращения g равны нулю, за исключением угла 0"z{> равного ср. Поэтому из формулы (7) следует, что если хотя бы одно Оту, 2
466
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IX
отлично от нуля, то ^0[^л(?)] —О- Если же Ж имеет вид М=(т, 0,..., 0), то по формуле (7) получаем, учитывая формулы (5) п. 6 и (9) п. 3 § 3,
2. Теорема сложения для многочленов Гегенбауэра. Из определения матричных элементов вытекает, что для любого элемента g группы SO(ri) выполняется равенство
Обозначим через п-ю декартову координату вектора g1!- Принимая во внимание формулу (7) п. 6 § 3, мы можем переписать равенство (1) в следующем виде:
Поскольку tn^0(g) и (|) выражаются через многочлены Гегенбауэра, равенство (2) можно рассматривать как общий вид теоремы сложения для этих многочленов. Однако формула (2) мало удобна для применения, поскольку выражения tn^0{g) и Е^(|) через многочлены Гегенбауэра довольно сложны.
Чтобы получить более простую формулу, рассмотрим частный случай равенства (2), выбрав в качестве | вектор со сферическими координатами 0, 0, ..., 0„_2, 0лЛ, а в качестве g—вращение на угол ср в плоскости (хп, g = g„ (?)•
Вычисляя по формуле (4) п. 6 § 3 значение (|) для вектора |=|(0, ..., 0, 0„_2, 0„^), получаем
-.//!(/ — т)\ Г (п — 2) Г (п + т — 3) (п + 2т — 3). , У т\Т(1 + т + п — 2)Т(1 + п — 2)
х sinmcpCz^m m (cos ср). (9)
(О
§ 4] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 467
если М = (т, 0, 0). При этом
м _____о/!+т-4г/и"3\г('!~2 I m\^f(/ —т)!т!(и + 2/—2)(п + 2т — 3)
АМ—z 1 \ 2 }1\ 2 *Г(/ + т + п-2)Г(т + в-3)(и-2)-
Значение же ^0[^„(®)] дается формулой (4) п. 1.
Нам осталось вычислить Заметим для этого, что декартовы координаты точки |(0, 0пЛ, 0„_j) имеют вид ^ = 0, 1 sc k sc п — 2,
1 = sin °я-1 cos 0„_2,
^л= COS 0„_i.
Поэтому вращение g„(cp)_1 переводит точку | в точку п-я коор-
дината которой имеет вид
= cos ср cos 0„_i -f- sin cp sin Qn^ cos 0„_2.
Подставим полученные выражения для Е^(|) и tnMQ[gn(vj>)\
fi__2
в формулу (2) и заменим 0лЛ на 0, 0„_2 на ф и —^—на Z7- Мы получим
Cf (cos 0 cos ср —(— sin 0 sin ф cos ф) =
_ Г (2р— 1) у 2smT2 (р -\- т) (I— /га)! (2m + 2p—1)
— [Г(р)]« Zi Т(1 + т + 2р) л
т = 0
_
X Cf+“(cos cp)sinmcpCf+;j(cos0) sinm0C^ 2 (cos ф). (3)
Формулу (3) называют обычно формулой сложения для многочленов Гегенбауэра.
Отметим некоторые частные случаи формулы (3). Если положить в ней (Jj = 0 и принять во внимание, что
гР~~2 /-1 ч Г 4~ т 1)
т т! Г (2р— 1) ’
то получим равенство Cf [cos (0 — ср)] =
1 V 22тГ2 (р-\- т) (I—т)!Г(2р + т — 1)(2т + 2р—1)
— [TW L T(t + m + 2p)m\ Х
т = 0
X Cfjr™(cos ?)smт f c?-Z(cos ®)sinm №
Аналогично, положив <l»=-g- и принимая во внимание, что Cfm+I(0)=0 и
Ср (0) = 1)т г ^ +/п)
2/»^ Т(р)т\
468 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 1171. IX
