Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
(см. п. 3 § 3), получим
Cf (cos 0 COS ср) = к/21
Г(2р — 1) ^ (-Цт2шТ2{р + 2ш)(/_2т)!Г0»+ш—Vi)(4m + 2р + 1)
[Г О?)]3 L T(l + 2m + 2p)T(p—4,)m\ А
ш = О
X Cfi 2m (cos sin2"1 ср (cos 0) sin2ff! 0. (5)
Если же положить в равенстве (3) ср = 0 = у и I—ni = 2k, то
\_
получим выражение Cf (cos ф) через функции с? 2 (cos t|>):
Ср (cos и,)_ T&p-l)1У (2fe)! (21 4k-\-2p 1)
^(cosyj [Г^2 ^7 г (2/ — 2к + 2р) Х к = 0
да
3. Формула умножения для многочленов Гегенбауэра. Умножим
__1^
обе части формулы сложения (3) п. 2 на выражение Ck 2 (cos<|0 sin2p_1t|) и проинтегрируем по ф от О до тс. В силу соотношений ортогональности для многочленов Гегенбауэра (п. 4 § 3) получим
тс I
Г Р-
\ Cf (cos 0 cos ср -j- sin 0 sin cp cos Ck 2 (cos ф) sin ip~1 ф dty =
0
T-k+2P-i [T(p + k)Y(l — k)\T(2p + k — l)^
— k\T(2p— 1)Г(/+Л + 2p) A
X Cf+kk (cos cp) sin * cp CP+* (cos 0) sin * 0. (1)
Эту формулу называют формулой умножения для многочленов
Гегенбауэра. В частности, при 1г = 0 получаем равенство
ТС
^ Cf (cos 0 cos ср -)- sin 0 sin ср cos ф) sinsp_1 ф =
= Cf (C0S V) Cf (cos 0)- (2)
Равенство (2) имеет простой геометрический смысл. Чтобы выяснить его заметим, что зональные сферические функции ?qq (g) можно рассматривать как функции на сфере, зависящие только от полярного угла 0 (см. п. 2). В соответствии с этим будем писать
$0 (&) ~ С (cos
§ 4j мЛтричные элементы нулевого столбца. 469
По формуле (8) п. 1 имеем (при п = 2р -\-2)
too (cos 0) = ^(2p + l) СР‘ (cos 6)-Поэтому формулу (2) можно переписать так:
г Р + '2-
] (00 (cos f) sinW~1 'МФ = too (cos v) too (C0s 0)> (3)
где cos f = cos 0 cos со -f- sin 0 sin <p cos
Легко проверить, что выражение в левой части равенства (3) является не чем иным, как средним значением функции ^^(cos-f) по (п — 2)-мерной сфере Sn~2 (Р, <р) со сферическим радиусом if и с центром в точке Р, полярное расстояние которой равно 0 (т. е. множеству таких точек М сферы S"-1, что дуга МР равна <р).
Итак, мы доказали, что среднее значение функции ^0(cos-f) по сфере S"-2 (Р, <?) указанного выше вида равно ^г0 (cos 0) ^г0 (cos <у).
Рассмотрим теперь некоторые формулы, получающиеся путем преобразования формулы умножения (2). Сделаем в формуле (2) подстановку
cos 0 cos ср -f- sin 0 sin ср cos ф = cos у.
Так как
Л JL
„:п ,,,_ [ COS (0 — 9) — COS f] 2 [COS f — COS (0 -f <f>)] 2
* sin 0 sin <p
и
d(cos+)=^to)>
4 T Sin 0 Sin <p ’
а у меняется от |0 — ср | до 0 —[— ср, когда t|> изменяется от 0 до it, то мы получаем
e J С1 (cos т) cj 2 (—:[cos (0 — ?) — cos ТГ1 X
X^cos 7 cos (Q-f-tp)]^1 sin X
X Cf+* (cos cp) sin2p+fe-> cp CP±\ (cos 0) sin2^*”10. (4)
В частности, при й = 0 имеем
б -}- <$>
J Cf (cos у) [cos (0 — ср) — cos xF""1 [cos j — cos (0 -f- cp)]*'1 sin
| 0 — <P I
= 2 т Ci (cos ^ ? Cf (cos 0) sinap_10. (5)
470 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА ]ГЛ. IX
Применяя равенство (13) п. 2 § 3, получаем при 10 — ср | ==? "f гё 0 -|- ср
00
(У 4“ р)__ по *Л nv + k frr>Q ,гЛ ГР + k i
1= О
Т(2НГ0гЬ+ * + W) с? (cos т) с‘±к (cos ?) с‘±к (cos 9) =
¦кЫ Т(2р— 1)
X
2*+*р [Т (р) Т (р + k)l*T(2p +к^
. О — <f + f f — 0 + <р . 7 + ° + ? • ° + 'f — f sm-------—- sin-----------Sln Sm — 2--------
р-1
sin-P-i у sin2p+* 1 щ sin2p+fe'1 О
X
„Р —-J/COSJ—-COS_0COS__o X k \ sin 0 sin <p
(6)
а при остальных значениях j на отрезке [0, 2тг] эта сумма равна нулю. В частности, при k = 0 и |0 — <р |-^f sg0<р, получаем
2 CPi (C0S т) С‘ (C0S С‘ (cos 9) =
о
яГ (2р — 1)
-'Р + Ч • f — ° + (Р • Ч + 0 + ? • 0 + ® -
