Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Н(х'-%(х')) =
_ V1 (- Vkr'kAk (Xn~Sfls (*'))
2d 2*?! (л -4-2/ — 4) (л 2/ — 6)... (л 2/ — 2k — 2)' <¦ ’
о
Так как hs(x') — гармонический многочлен, то при р^. 1 имеем (A,)pfts(x') = 0, где
djc? ' — ‘ дх%-\
д3
— оператор Лапласа в (п— 1)-мерном пространстве. Но Д = Д'-|-;^г2> поэтому
Д* [xl~shs (х')] = (/- s)... (/ - s - 2k + 1) xlns~2khs (х').
460 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. ifc
Мы доказали, таким образом, что
И
— У (-!)*(/-s)(/-s-1)...(/-s-2A + D ль „/-,-2t /о\
^ 2*й! (л + 2/ — 4)...(л + 2/ — 2? — 2) « ' ;
л = о
Принимая во внимание равенство (3) п. 1, можно переписать формулу (8) в. следующем виде:
((-!)] Г fc^ + s) 1=1,, Я(хГ..М*-))— V_2+ Л“С,Л (9)
Итак, мы доказали, что пространство j?>nls является пространством функций вида
rl~sC^s+S[^)hs(x'), (10)
где А5(х')^^л_1' *.
6. Построение канонического базиса. Перейдем теперь к основной цели этого параграфа — построению базиса в пространстве syl однородных гармонических многочленов степени / от п переменных. Из результатов предыдущего пункта вытекает, что любой многочлен А(х) из fenl единственным образом представляется в виде
1 л-2
- + * X
h(x)=2rl-sClls {т)кЛх), (1)
где hs(x) ? s.
Так как функции hs(x') принадлежат пространствам Jg>n~'• s, они допускают аналогичное разложение. Продолжим этот процесс и примем во внимание, что любой гармонический многочлен степени s от двух переменных Xi и лг9 является линейной комбинацией многочленов (лг2-|~ гл^) и (х%—¦ ix^. Получаем следующий результат.
Любой многочлен из пространства Sjnl единственным образом представляется в виде линейной комбинации функций вида
В^(х) = A‘Kf[ r*c;t+ 'СГ!Г + Ы (х, ± ад*-, (2)
о 1 1 1
где r*n-j — x\-\-...-\-x\—] и / = г^О. Символом
К здесь обозначена последовательность целых чисел (klt ... , ±?л_а).
§ 3] ЗОНАЛЬНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 461
Нормирующий множитель Alk выберем так, чтобы выполнялось условие
5 lEi(S)l*tfS = i. (3)
sn-i
где d\ — нормированная евклидова мера на единичной сфере S"-1. Чтобы вычислить этот коэффициент в явном виде, запишем функции
Sl(|) в сферических координатах. Так как ^Li=cos 0„_y_i и
r ti-j r n-j
= Sin 0л_у_1, ТО
Ц (х) = А‘/Ц ск 2k +kj+1 (cos 0л-у-1) sin *-/'+10л-У-ie±lk^K (4) о / /+1
Подставив это выражение в интеграл (3) и принимая во внимание, что
d\ =------sin n s0„_1... sin 02^0!... Mn_lt
получим
2я2
n-j-2
ШИ S [Cft.ift.+1+Vl(cos0)fsin2А/н+л-'-\М.
JC
Принимая во внимание соотношения нормировки для многочленов Гегенбауэра (см. формулу (5) п. 4), получаем после простых преобразований W=%X
л —3
22kJ+l + n _/_4 й/н)! (n_j + щ_2) Г» (" У 2 + *
"y+i
ТТ ( .
ХУ=0 /*Г(йу + йу+1 + п-у-2) ' (5)
В частности, если О = (0, ... , 0), то
у _1 Г ^ Г (л 2) (21 + л ~2)
ло~ ^ Г(л + / — 2) (л — 2) ’ w
и потому
д/ Сх)—-|/~(1Г(л 2)(2/-|-л 2) 7.0 2 (хп\
“oW у Г(Л + / — 2) (л —2) I [г]-
462
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
|ГЛ.IX
Покажем, наконец, что базис Ej^(x) в пространстве Sjnl ортогонален относительно скалярного произведения
в этом пространстве. Иными словами, если последовательности К= = (kh ... , ±kn 2) и M = (tni........±мл !) не совпадают, то
В самом деле, подставим в интеграл (9) вместо функций Ej^.(x) и Е^(х) их выражения по формуле (4) и примем во внимание выражение для инвариантной меры на сфере б’"'1. Тогда интеграл (9) является (с точностью до постоянного множителя) произведением интегралов вида
Если &у+1 = /Яу+1, но го в силу соотношений ортогональ-
ности для многочленов Гегенбауэра интеграл (11) равен нулю. Поэтому, если последовательности Дг=(&1, ... , ±&„_2) и M = (niy, ... ..., ± тп^) различны, то хотя бы один множитель в выражении для (Е^, Е^) равен нулю (при ± ф ± тп л в нуль обращается множитель вида (10)).
