Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 188

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 182 183 184 185 186 187 < 188 > 189 190 191 192 193 194 .. 241 >> Следующая


Мы построили, таким образом, ортогональный нормированный базис Е*, (х) в пространстве Jr>nl однородных гармонических многочленов степени / от п переменных. Этот базис будем называть каноническим базисом в lQnl. Иногда удобно считать, что этот базис упорядочен. Именно, будем считать, что Е^х), K=(k0, ... , ± ?„_g) предшествует Е^(х), М(/п0, ... , ±mnJ), если найдется такое /, что = Osи kJ+x<^mjjrl {нщ ±/гпЛ<^±тпЛ).

Из построения базиса Е^(х) ясно, что при kx = s функция Е^(х) принадлежит подпространству &)nls.

7. Разложение функций на л-мерной сфере. Функции Е^(|), K=(ku ... , -ь- k„_q) при фиксированном / образуют ортогональный нормированный базис в пространстве Jg>nl. Но в п. 9 § 2 было пока-

(8)

(9)

sn-i

J et&n_etffl

(10)

^+1 (cos 0) sin /г/+1~1‘т/+1+л J' 2 0 df)t (i i)
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА

463

зано, что пространство 8а (S" *) функций на сфере S".*, имеющих интегрируемый квадрат модуля, является прямой суммой подпространств фя/, 1=0, 1, ...

ОО

g>(lS»-i)=2 ?я/. (1)

1 = 0

Отсюда вытекает, что функции где К пробегает всевозмож-

ные последовательности целых чисел K=(kb ... , ±kn^), такие, что ^ 0, образуют ортогональный нормированный

базис в пространстве С2 (Snl).

Итак, мы доказали, что любую функцию /(|) из пространства (S’"-1) можно разложить в сходящийся в среднем ряд вида

/(S)=2K^(S), (2)

k

где

4= S ¦/($)Ё?(1)*$. (3)

sn-l

(id\ — нормированная евклидова мера на сфере Sn 1). Как видно из результатов п. 6, это разложение связано с разложением квазирегулярного представления группы SO(n) на неприводимые представления. Именно, члены разложения (3), для которых I имеет фиксированное значение, принадлежат подпространству iQnl и, следовательно, эта группа членов преобразуется по неприводимому представлению Tnl (g) группы SO (ti).

§ 4. Матричные элементы нулевого столбца

Мы построили в предыдущем параграфе канонический базис в пространстве Sjnl однородных гармонических многочленов степени I от п переменных. Назовем канонической матрицей представления

Тл‘ (g)f(\) =/(?-1х), /(х) ? $nl,

матрицу этого представления в каноническом базисе. В этом параграфе мы рассмотрим элементы «нулевого столбца» канонической матрицы, соответствующего базисному элементу

Е^(х), 0 = (0, ... , 0)

и выразим их через многочлены Гегенбауэра. Отсюда будут получены новые свойства этих многочленов.

1. Элементы «нулевого столбца» канонической матрицы. Будем нумеровать строки и столбцы канонической матрицы представления Tnl (g) символами К, М, K=(kb ... , ± ?„_а), М = (ти ... , ±от„_2).
464

ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

|ГЛ. IX

Таким образом, элементы канонической матрицы оператора Tnl (g) обозначаются T^M(g). Эти матричные элементы являются коэффициентами в разложении функции Tnl (g) ^(х) по функциям S^.(x).

Обозначим через О последовательность (0, ... , 0). Покажем, что матричные элементы t^0(g) и pQK(g) весьма просто выражаются через многочлены Гегенбауэра.

Так как t*M(g) являются матричными элементами оператора Tnl (g) в каноническом базисе Е^(х), то для любого g выполняется равенство

Положим в этом равенстве х = |„(0, 0, ... , 0, 1). Значения легко вычисляются по формуле (4) п. 6 § 3. Очевидно, что при К Ф 0 в правую часть этой формулы входят сомножители, равные нулю, а потому при КфО имеем Е^(|„) = 0. Если же К=0, то по формуле (7) п. 6. § 3 получаем

Подставляя полученные значения в формулу (1) при х = |„,

находим

Так как представление Tnl (g) унитарно, то t*lM (g) = tn^Q (g *). Поэтому из формулы (3) вытекает, что

(1)

л-2

(2)

а по формуле (6) п. 6 § 3

_ ЛГ ДГ(я-2)(2/ + я-2)

О у Г (я + / — 2) (я — 2) •

Подставляя эти значения в формулу (2), получаем

2) (я — 2) '
§ 4] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 465

Значение коэффициента в формуле (3) может быть получено иным путем из теоретико-групповых соображений. Так как Tnl(g) — неприводимое представление группы SO(n), то имеет место равенство

J гАо (g) № = r(/+-”^(!y~2)- о)

(см. п. 3 § 4 главы I и формулу (11) п. 4 § 2 этой главы). С другой стороны, из равенства (3) п. 6 § 3 легко следует, что

$Ism(?^)IV?=1 (6)

(по формуле (3) п. 4 § 1 интегрирование по группе SO(n) сводится к интегрированию по подгруппе SO (п — 1) и по сфере S"-1; поскольку при h ? ? SO (п— 1) имеем h%n — l,n, а на сфере Sn~l функции (?) нормированы, получаем равенство (6)). Сравнивая равенства (5) и (6), получаем значение коэффициента в формуле (4).
Предыдущая << 1 .. 182 183 184 185 186 187 < 188 > 189 190 191 192 193 194 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed