Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Мы построили, таким образом, ортогональный нормированный базис Е*, (х) в пространстве Jr>nl однородных гармонических многочленов степени / от п переменных. Этот базис будем называть каноническим базисом в lQnl. Иногда удобно считать, что этот базис упорядочен. Именно, будем считать, что Е^х), K=(k0, ... , ± ?„_g) предшествует Е^(х), М(/п0, ... , ±mnJ), если найдется такое /, что = Osи kJ+x<^mjjrl {нщ ±/гпЛ<^±тпЛ).
Из построения базиса Е^(х) ясно, что при kx = s функция Е^(х) принадлежит подпространству &)nls.
7. Разложение функций на л-мерной сфере. Функции Е^(|), K=(ku ... , -ь- k„_q) при фиксированном / образуют ортогональный нормированный базис в пространстве Jg>nl. Но в п. 9 § 2 было пока-
(8)
(9)
sn-i
J et&n_etffl
(10)
^+1 (cos 0) sin /г/+1~1‘т/+1+л J' 2 0 df)t (i i)
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА
463
зано, что пространство 8а (S" *) функций на сфере S".*, имеющих интегрируемый квадрат модуля, является прямой суммой подпространств фя/, 1=0, 1, ...
ОО
g>(lS»-i)=2 ?я/. (1)
1 = 0
Отсюда вытекает, что функции где К пробегает всевозмож-
ные последовательности целых чисел K=(kb ... , ±kn^), такие, что ^ 0, образуют ортогональный нормированный
базис в пространстве С2 (Snl).
Итак, мы доказали, что любую функцию /(|) из пространства (S’"-1) можно разложить в сходящийся в среднем ряд вида
/(S)=2K^(S), (2)
k
где
4= S ¦/($)Ё?(1)*$. (3)
sn-l
(id\ — нормированная евклидова мера на сфере Sn 1). Как видно из результатов п. 6, это разложение связано с разложением квазирегулярного представления группы SO(n) на неприводимые представления. Именно, члены разложения (3), для которых I имеет фиксированное значение, принадлежат подпространству iQnl и, следовательно, эта группа членов преобразуется по неприводимому представлению Tnl (g) группы SO (ti).
§ 4. Матричные элементы нулевого столбца
Мы построили в предыдущем параграфе канонический базис в пространстве Sjnl однородных гармонических многочленов степени I от п переменных. Назовем канонической матрицей представления
Тл‘ (g)f(\) =/(?-1х), /(х) ? $nl,
матрицу этого представления в каноническом базисе. В этом параграфе мы рассмотрим элементы «нулевого столбца» канонической матрицы, соответствующего базисному элементу
Е^(х), 0 = (0, ... , 0)
и выразим их через многочлены Гегенбауэра. Отсюда будут получены новые свойства этих многочленов.
1. Элементы «нулевого столбца» канонической матрицы. Будем нумеровать строки и столбцы канонической матрицы представления Tnl (g) символами К, М, K=(kb ... , ± ?„_а), М = (ти ... , ±от„_2).
464
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
|ГЛ. IX
Таким образом, элементы канонической матрицы оператора Tnl (g) обозначаются T^M(g). Эти матричные элементы являются коэффициентами в разложении функции Tnl (g) ^(х) по функциям S^.(x).
Обозначим через О последовательность (0, ... , 0). Покажем, что матричные элементы t^0(g) и pQK(g) весьма просто выражаются через многочлены Гегенбауэра.
Так как t*M(g) являются матричными элементами оператора Tnl (g) в каноническом базисе Е^(х), то для любого g выполняется равенство
Положим в этом равенстве х = |„(0, 0, ... , 0, 1). Значения легко вычисляются по формуле (4) п. 6 § 3. Очевидно, что при К Ф 0 в правую часть этой формулы входят сомножители, равные нулю, а потому при КфО имеем Е^(|„) = 0. Если же К=0, то по формуле (7) п. 6. § 3 получаем
Подставляя полученные значения в формулу (1) при х = |„,
находим
Так как представление Tnl (g) унитарно, то t*lM (g) = tn^Q (g *). Поэтому из формулы (3) вытекает, что
(1)
л-2
(2)
а по формуле (6) п. 6 § 3
_ ЛГ ДГ(я-2)(2/ + я-2)
О у Г (я + / — 2) (я — 2) •
Подставляя эти значения в формулу (2), получаем
2) (я — 2) '
§ 4] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 465
Значение коэффициента в формуле (3) может быть получено иным путем из теоретико-групповых соображений. Так как Tnl(g) — неприводимое представление группы SO(n), то имеет место равенство
J гАо (g) № = r(/+-”^(!y~2)- о)
(см. п. 3 § 4 главы I и формулу (11) п. 4 § 2 этой главы). С другой стороны, из равенства (3) п. 6 § 3 легко следует, что
$Ism(?^)IV?=1 (6)
(по формуле (3) п. 4 § 1 интегрирование по группе SO(n) сводится к интегрированию по подгруппе SO (п — 1) и по сфере S"-1; поскольку при h ? ? SO (п— 1) имеем h%n — l,n, а на сфере Sn~l функции (?) нормированы, получаем равенство (6)). Сравнивая равенства (5) и (6), получаем значение коэффициента в формуле (4).