Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
X f (cos ср г cos Ssin^yc^ 2 rosy+ г sin У Л sin^^QafQ. (10)
Jv Т 1 т \ cos !f + г cos 0 sin !f / v
о
Сделаем в интеграле (10) подстановку
cos 0 cos tp 4- i sin ш
-----------—1----— — cos т
cos <p + i cos 0 sin tp '*
Мы получим
т\т(р-1^Т(2р + 1)Г
sinm tp Cf-I'm (COS cp) =----------—-------------—------------------------X
^ 2m+1yrnT(p + m)(l— m)\T(2p + m — 1)
7E I
X^Ccos? — 1 cos 7 sinf>)",~,pCj|> 2 (cos 7) sin2p 1f dy. (11)
0
При tn = 0 получаем отсюда
К
Cf (cos у) = j (cos cp I cos cp sin cp)~z~^ sin'^-1 у dy. (12)
0
Отметим еще частный случай формулы (9). При ip =-^-, принимая во внимание формулу (7) п. 3 § 3, получаем
* -L
2 (cos 0) cosm+2fc0 sin2*'""10 dB =
о
_ яГ (2k + т + \)Т (2р + т — \)(2р — 1)
22р+2*+т-1т!ЙГ
8. Связь между многочленами Гегенбауэра и присоединенными функциями Лежандра. Полученное в п. 7 интегральное представление многочленов Гегенбауэра позволяет установить связь между этими многочленами и присоединенными функциями Лежандра. Положив
в формуле (9) п. 7 р = ~, получим
I ТС
Q2 (cos ip) = -^- j* (cos (f> — I sin ip cos Q)‘dQ. (1)
§ 4] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 479
Сравнивая это равенство с формулой (16) п. 9 § 4 главы III, убеждаемся, что
I
Cf (cos ?) = Pt (cos cp). (2)
Таким образом, многочлены Лежандра являются частным случаем многочленов Гегенбауэра, соответствующим значению =
Применим теперь рекуррентную формулу (6) п. 3 § 3. Мы получим для любого натурального р
_1_
СР+'/,(а = - У* dPC‘ {t)_______vi______(3)
Lt-P К> . 1 \ dtp —„„„/ , 1 \ dtp ' ( }
2РТ[Р+ 2) 2РТ[Г + ^
Так как по формуле (4) п. 9 § 4 главы III имеем
Р (t)— ^ dl П(Ч — 21 a at1
то
или, иначе,
V" dP^{t*-\y
U-р (Ч— —Y\ dtP+l
2^г(р + -1)п
d(t) =------------’-Jl-----з~ “-----^7------------- (4)
2*9+4 (q)T(q + l + ±}
где q — полуцелое, а I—целое число, q^-^, /^0.
По формуле (13) п. 9 § 4 главы III имеем
^ . (-1)р(1-^)р/2 dP+ip-l)1
™ -------25i-----------dipVl •
Сравнивая это равенство с формулой (4), получаем
с? +р/2 (t)=(—WV11 (1 ~^‘Г-.2 я? (t), (6)
2РТ[р + ^ или, иначе,
1 (t}~-----------Pi+g-*,t(t)~
V™ T (^ + 2q) (1 f8)V« —i/ a ,
2?—Vsp (q) l\ + ? — */>(/*
480 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
Согласно формуле (5) это равенство можно переписать так:
ч‘/з-?
Q(t) =----------------------------п----------------------w---------. (7)
*Г(/ + ,+-^/1
Из полученного выражения для Cf (t) сразу следует, что
1 р~1 2-
5(1 — ^) 2 F(t) С2 (t)dt=
-1
_L р (р--(р 1 — и f /1 Л}1 “I т~ ^Е. di
« 0+1)0 + 3)...(я + 2/—1) _у > dt‘
Т(р+1)т(Р±1) 1 i + L-zidip
~-------------J(1~° 2 dt (8)
2Ч\ Г (р) Г /
Р_
9
Для доказательства достаточно подставить вместо Cf (t) выражение (7) и I раз проинтегрировать по частям. Проинтегрированные члены обращаются в нуль при подстановке пределов интегрирования.
Рассмотрим теперь случай, когда р—целое число. Положим в равенстве (9) п. 1 р = 1 и сделаем подстановку cos f — I sin f cos Q = z. Мы получим
C!(cos?) = ^t-L \ = (9)
‘v TJ 2i sin cp J sin cp v '
в1?
Применяя рекуррентную формулу (6) п. 3 § 3, находим ^+1 „л _ 1 ( d \р Г sin (/ + 1) т 1 _
Cf±p (cos ср)_ 2РТ(р+\) ideas,) ["
~ 2*Т(р + !)(/ + 1У ( rfcoscp ) ^C0S ^ ^ ^
Sin cf
