Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
1 - sin ¦--------------2~ Sln 2 Sln —
р-i
2аР [Г (/?)]4 Г (2р — 1) (sin f sin <р sin 0fP 1
(7)
а при остальных значениях у на отрезке [0, 2тг] сумма этого вида равна нулю.
4. Реализация представлений Tnl(g) в пространстве функций от л — 1 переменного. В следующем пункте мы выведем интегральное представление для многочленов Гегенбауэра. Чтобы получить это представление в достаточно простой форме, нам понадобится еще одна реализация представления Тл1 (g).
Мы реализовали в п. 2 § 2 представление Tnl (g) группы SO (п) п фактор-пространстве 3\п1/г‘*Шп’1где, напомним, Ып1 — пространство однородных многочленов степени I от п переменных. Было показано также, что этот фактор-пространство можно отождествить с пространством однородных гармонических многочленов степени /.
Определим теперь еще одну реализацию представления Т:г1 (g). Сделаем в каждом многочлене /(х) из подстановку хп = 1гпЛ, где r?_i =ATj-f-—i. Очевидно, что при этой подстановке многочлен ra=Xi -|~... —(— лей — i переходит в нуль, а следова-
тельно, и все подпространство гагЯл' г~2 переходит в нуль. В то же время ни один из многочленов, не принадлежащих гагЯ"' 1~2, не обращается в нуль при преобразовании
Qf(хj, ..., xn i, Хп)—f(хj, ..., хп_j, irn j).
(1)
«4] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 471
В этом проще всего убедиться, записав многочлен /(х) в виде
f (х) = (xf x%)fx (х) -f- xnF\ (x') -f- Pt (x'), (2)
где
Ясно, что если хотя бы один из многочленов Рг (х') или (х') отличен от нуля, то Q/(x)t^0.
Итак, мы доказали, что оператор Q устанавливает взаимно однозначное соответствие между фактор-пространством д\п1/г^п’ 1~2 и пространством W11 функций вида f{xit ..., хпЛ, 1гпЛ). Выясним, из каких функций состоит пространство 31л/. Для этого положим в равенстве (2) хп = 1гпЛ. Мы получим
Qf (х) = itп л Р\ ОО -f- Pi (х')> (3)
где Рх (х') ^ ЭЯ"-1* / — 1, Яа(х')? /.
Обратно, любая функция вида (3), где Рх (х') ^ 1л и Рч ОО G 1’ принадлежит пространству ?{л/; она является образом многочлена хпР^ (х') Р% (х'\
Итак, пространство %nl состоит из функций вида
irnlPi{x’) + Pi(x’), где Л (х') (= гй"-1. Ръ{х)?тп~'-1.
Поскольку пространство Шп1 естественным образом изоморфно фактор-пространству /HS, в 21л/ можно реализовать представ-
ление Tnl (g). Именно, положим
Rnl (g) F (х') = Q Tnl (g) Q~'F (x')> (4)
где F(x')(^5Hnl, оператор Q имеет указанный выше смысл, a Q 1 — оператор, переводящий функцию ^(х') пространства 21л( в соответствующий ей смежный класс фактор-пространства ЭТл//(т. е. в смежный класс, содержащий, например, многочлен хпР^ (х') -j- (х')).
Простой подсчет, провести который мы предоставляем читателю, показывает, что операторы представления Rnl (g) имеют следующий вид: если h SO(n — 1), то
Rnl(h)F(x') = F(hV). (5)
Если же g=gn(f) — вращение на угол <р в плоскости (хп, хпЛ), то Rnl [gn (?)] F (хи •••> xn_l) = F(x1, •••> хп_ъ лг„_1 cos у — //¦„_! sin ?)= = (Ar„_! sin <P -(- ir„ ! COS ?) Pi (ATj, . . . , ЛГ„_2, X„__! COS — trn_i sin ?) -f--f- Pi (xu X„_3, X„_t COS (p — irn_! sin f), (6)
где F(x') = lr„_1P1(x')-{-Pi(x').
472 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
5. Разложение пространства Шп1. В п, 8 § 2 было доказано, что
i
= 2 x‘-<n§n~l-m. (1)
т = 0
При отображении Q подпространство гЧЯ"’ !~2 переходит в нуль, а подпространства х1п~т^п'л- т — в подпространства т. От-
сюда вытекает, что W11 является прямой суммой подпространств Уг*лУ~т$Г1-т, состоящих из функций вида (lrn^1)l~mhm(xr), где
к(*г)е$п^т:
Я"'= i] {1Гп^т^п~х-т. (2)
т~0
Так как подпространства х1п~т1дп ~1-т в 3tnl инвариантны относительно операторов Tnl(h), h?SO(n—1) (см. п. 8 § 2), то подпространства (irn-i)l~m$n~1' т в W1 инвариантны относительно операторов Rnl (ft), h^SO(n—1). В этом нетрудно убедиться и непосредственно, заметив, что
Rnl (A) [{lrnJ~mhm (х')] = (trn^rmhm (А-‘хО.
Таким образом, мы разложили пространство %nl в прямую сумму подпространств инвариантных относительно опера-
торов Rnl (A), h?SO(n—1). Легко видеть, что сужение представления Rnl (А) подгруппы SO (п—1) на подпространство (г’г„_лУ"~тф'!~1, т изоморфно неприводимому представлению 7л'1-т(А) этой подгруппы.
6. Инвариантное скалярное произведение в пространстве Шп1.
Построим теперь в пространстве 3tnZ скалярное произведение, инвариантное относительно представления Rnl (g), g ^ SO (п). Представление Rnl(g) эквивалентно представлению
