Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
к р+1
Равенство (10) можно переписать так:
С" (C0S & = 2Р~ГТ (р) (р +1) (d4^)P tC0S <P + Q (10')
Здесь р и I—целые неотрицательные числа.
При /? —О многочлены Гегенбауэра обращаются в нуль. Вычислим теперь lim Г (р) Cf (cos ip). Для этого умножим на Г(/>) обе части ре-
р — 0
куррентной формулы
/С? (cos <р) — 2р [cos ср Cf it {(cos ip) — Cfi^cos ^)]
§4] МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА 481
(см. п. 3 § 3) и перейдем к пределу при /?—> 0. Принимая во внимание выражение (9), получаем равенство
11шГ(я)С?(со5?)=2^, (И)
р—*о 1
которое также можно переписать в следующем виде:
lim (cosf)_ 2 cos Ар
Р-+ 0 р I
9. Некоторые разложения по многочленам Гегенбауэра. Формулу (9) п. 7 можно истолковать как выражение коэффициентов Фурье при разложении функции (cos^ — г sin cos б)г по многочле-1
Р —2*
нам Ст (cos 0). Принимая во внимание формулы (11) и (12) п. 5 § 3, получаем
(cos ср — i sin f cos 0/ =
Г (2p — 1) Л VI (— 2 i)m (2 m + 2p— 1)Г(р+ m)
Sill
(cos <p)X
— I» ^ T(2p+l+m)
m = Q
XCm ‘/2(cose)- 0)
Отметим некоторые частные случаи полученной формулы. Полагая в ней ср = ~, получаем
V <V2'-4^,1; (cos в). (2)
'р> kil(p+l~k+4'
Далее, полагая 0 = 0 или и, находим
i
__ '1 V (± 2t)m (2т + 2р — \)Т(р+т)
~Т(р) Li Т(2р+1+т)т\ А
X Г (2р + т — 1) sinт9С$±% (cos ?). (3)
Наконец, перемножим разложения (1) при l = lt и 1=1\ и применим к левой части получившегося равенства это же разложение при 1=1х-\-1г. Умножив обе части равенства на sin2P0 и проинтегрировав по 0 от 0 до тг, получаем, в силу соотношений ортогональности
482
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IX
для многочленов Гегенбауэра, следующее соотношение;
Cpi mi (cos ср)— /,! /г! + + у-
C/1+;3(coscpj_ (/1 + /2)!Г2(р) X
min Ui. ^(--4)*Г«(р + й)Г(й + Яр-1) (2k + 2p-l) 2ft X klTVp + lL + k) T(2p + L + k)bln
x Cf+Л (COS <p) Cf^-k (cos cp). (4)
10. Другие интегральные представления многочленов Гегенбауэра. Мы использовали для вывода интегрального представления многочленов Гегенбауэра реализацию представлений Tnl (g) в пространстве 21л/. Другие интегральные представления возникают, если реализовать эти представления в пространстве Jr>nl. При такой реализации мы имеем
*оо \?п (?)] = (Tnl [(ср)] Е‘0. = $ Т'а \gn (ср)] (1) % (|) d%. (1)
s'11
Но по формуле (7) п. 6 § 3
о/ I /~1№(п 2) (21п 2) „ 2 а \
а0®— У T?(n + T=W(n~2) Q (cos9--^
п —2
а оператор ^[йлОр)] переводит функцию Q 2 (cos0„_t) в
п~2
Tnl[gn(?)]C, 2 (cos 0Л ,) =
п — 2
2
= Ci (cos 6n , cos ip -f- sin 6Я , sin cp cos 6„_a).
Поэтому
t* \e Гт)] —/ir — 2> <2/ + « — 2) y
1001«л r _j_ / — 2) (л — 2) A
л — 2 n — 2
X JC;3 (cos 6„_! cos <p + sin 0„_! sin <p cos S„.a)Q 2 (cos 0„_i) d\. (2)
5я'1
41
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НУЛЕВОГО СТОЛБЦА
483
Перейдем к сферическим координатам и подставим вместо too [§„(?)] выражение (1) п. 7. Заменяя п — 2 на 2р, 0„_t на 0 и 0„_2 на ф, получаем
те те
Ср (cos q>) = ^ ^ Ср (cos 0 cos <р sin 0 sin <р cos Ф) X
X Ср (cos 0) sinap0 sin2*’ 1 ф o!0 (3)
о о
В справедливости формулы (3) можно убедиться также, разлагая С? (cos 0 cos <р -f- sin 0 sin cp cos ф) по теореме сложения и почленно интегрируя полученное выражение.
Точно так же, как и (3), выводится формула
sin
С?±? (cos <р) =
Г(2/> — !)(/+/>) яГ (2р+ т— 1)
о о
X С?—in (cos 0) sin 2p~'r’nQ Cm 2 (cos ф) sjn ®p _1 tj) d0 dtj). (4) Предоставляем читателю получить ее из равенства
йо кп('?)]=(тп1ЫЛ?)] Sо, ?1м).
11. Некоторые интегралы, содержащие многочлены Гегенбауэра.
Интересные интегралы, содержащие многочлены Гегенбауэра, получаются, если вычислять зональную сферическую функцию too 0?) не в сферических, а в бисферических координатах. Последние определяются равенствами:
jtj = sin a sin = sin a sin
л ... sin i... cos 0!,
xm= sin a cos u cm+i = cosa sin m A . . . sin
xn = cos a cos ф„_т л>
