Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
л 1дяд, 1 д о . д ,
Д(1 =---;--COs"<p4-^---------5---3---:---COSa ср2 Sin ср2 -з-----Ь-
0 cos5 !f3 cfcp3 д<р3 cos" !f3 cos3 !f2 sm !f2 d<p2 T (tys 1
, 1________1__________1_________________s.n2
cos2 tp3 sin2 ?2 <ty‘i cos2 cos2 sin2 ?i d?i <ty,
1_________1__________d_ cqs<j I__1_________________
COS2 !f3 COS2 Cf2 sin2 !fj COS !f12 ^12C0S ^ Cty12~T~COS2 !f3 COS2 cp2 sin2 cp, COS3 !f12 dcpf,
4. Собственные функции оператора Лапласа в полисферических координатах. Перейдем к вычислению собственных функций оператора Лапласа на сфере в полисферических координатах. Эта задача приводит к решению дифференциального уравнения
1 d п • a du
—а—г- ~r~ cos'' ср sinv ср --
cos^cpsm^tp d<? т т d<f
~[r(r^-+liiwdl-'</+p+^]"=0- (>)
Сделаем в уравнении (1) подстановку M = tg4cp cos'cpn, а затем по-
*) Относительно обозначений R[ ... t и S{ . ; см. стр. 490.
494 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
ложим —tg9c?=у. Тогда уравнение (1) приводится к гипергеомет-рическому ураЕнению, одним из решений которого является функция
Vl = F(l=!±Lt + , + ф; у). (2)
Поэтому одно из частных решений уравнения (1) имеет вид
__ I S I Г' f $-^ ^ ^ - F---Р Ч- 1 I Я + 1 I а \
«1 = tg'‘cpcos'cpF^-------------------------------------------------^L_> -^s + — tg <Р) •
(3)
Как было отмечено в п. 3 § 5 главы VII, гипергеометрическое уравнение имеет, кроме функции F(а, (3; у; х), второе частное ре-
и.ение:
х1-7 f (ч т ”Ь 1, Р —Т + 1; 2 — т; х)-
Пользуясь этим, получаем второе частное решение уравнения (1):
щ = Ctg9'4 1 ср cos' ?F ' 1 _ P + *_±ytl±L;
— s—— tg4<p). (4)
Перейдем теперь к разделению переменных в уравнении Д01/ — -f-Xt/=0. Подставим в это уравнение выражение для оператора Лапласа Д0 в полисферических координатах и представим искомую функцию в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одного угла срt ./ . Используя формулу (3) п. 3, получаем следующий результат (мы опускаем детали несложного, но кропотливого вывода).
Функция, зависящая от угла ср,• . * , удовлетворяет диффе-
ренциальному уравнению (1), в котором надо положить
р = р. г , q = q. , , г = Ц , , j
1 ‘* m i" т 1 m-i I ^
I -= /; i у S := I // ti \ , I
1 * • т *1 ттч-i* /
гс)<г /m+i имеет наибольшее из возможных значений (иными словами, в дереве нет вершины х0i ...i j + О- Если у вершины хы нет существенно предшествующих (т. е. р = 0), то г = 0,
а если нет подчиненных, то s = 0. Числа {// ... / } — параметры разделения переменных.
Выясним, при каких условиях на параметры разделения }
уравнение (1) имеет решение, непрерывное на всей сфере S"~l- Сначала рассмотрим случай, когда
Pi,...i=4i,... i = 0-
* I т i т
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА
495
В этом случае уравнение (1) сводится к
df + lll = 0 и его решениями являются функции
a = etl* и u=e~n't.
Так как в этом случае 0=sg:cp<^2ir (см. стр. 491), то параметр 1=11Л принимает любые целые значения, причем каждому целому значению I соответствует одно решение уравнения (1).
Если /7 = 0 (и потому г = 0), a q Ф 0, то решения (3) и (4) принимают вид
tf, = tg5cpcos'cpF(~, S"~2+1; s + — tg*<p) (6)
И
Щ = ctg9 + i_1 ср cos' срХ
Из условия однозначности и непрерывности решения щ в точке ср = 0 получаем, что s—-целое неотрицательное число. Для непрерывности щ в точке 9 = 1г/2 нужно, чтобы и / — s было целым неотрицательным числом, Если эти условия выполнены, то функ-
ция и, непрерывна в точке it/2. В самом деле, при l^s одно из
S — I S — / + 1
чисел —— является целым неположительным, поэтому ги-
пергеометрическая функция в равенстве (6) вырождается в многочлен от tg ср, степень которого не превосходит I—s. Поскольку cos ср входит в функцию (6) в степени I — s, эта функция непрерывна при ср = it/2.
Рассмотрим теперь второе решение (7). Чтобы оно было непрерывно в точке ср = 0, нужно, чтобы ssg:l—q. Поскольку по условию <?^>0, a s = \li^'"i |=Э= 0, то q= 1 и s = 0. Но в этом слу-
чае решение (6) совпадает с (7).
Итак, если р = О, qф 0, то решениями уравнения (1), непрерывными при ср = 0, ср = тг/2, являются функции
tg5 cos1 срF (—jp, S~2+1 ; — 4В*?)» (8)
где / = s, s-|-l, •••'* s~\-k, ...
