Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
А[х,к(х)] = х,Ак+ 2^=2^-. (6)
С другой стороны, так как ¦g’r ? 91"'* ~ то по формуле (2) имеем dh\ dh , 9.fdh\ dh
438
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IX
Сравнивая равенства (6) и (7), получаем
*_] = 0. (8)
Наконец, заметим, что если h (х) — гармонический многочлен, то для любого ] многочлен dh/dxj также является гармоническим. В самом деле,
д I dh\ д (Дh)
dxj j dxj '
Поэтому, если Д/г = 0, то и а(^~-^ = 0.
4. Инвариантность подпространства JQnl. Пространство однородных гармонических многочленов степени / от п переменных является подпространством пространства всех однородных многочленов степени I от п переменных. Покажем, что это подпространство инвариантно относительно операторов представления Lnl (g). Для этого воспользуемся следующим важным свойством оператора Лапласа.
Оператор Лапласа перестановочен с операторами движения в евклидовом пространстве: если g— движение, то
А№1*)]=(АЛ(Г1х). (1)
Равенство (1) проще всего доказать, заметив, что
A/w= Л"! --Ч*?-------------------<2>
где /г(а) — среднее значение функции /(х) на сфере 5л_1(а, г) радиуса г с центром в точке а. Равенство (2) выводится путем разложения функции /(х) в ряд Тейлора в окрестности точки а и почленного интегрирования этого ряда по сфере (а, г). Поскольку оператор в правой части равенства (2) перестановочен с движениями евклидова пространства, оператор Лапласа тоже перестановочен с этими движениями.
Из равенства (2) вытекает, что подпространство инвариантно относительно операторов представления
Lnl fe)/(x) х), /(х) ? Wl. . (3)
В самом деле, если Д/(х) = 0, то в силу формулы (2) мы имеем Д [/(g 1 х)] = 0. Поэтому из /(х)^§л/ вытекает, что
Lnl (g) /(*)=/ (gх) G $nl- (4)
5. Гармоническая проекция многочлена. Представление в пространстве гармонических многочленов. Докажем теперь, что инвариантное подпространство !Qnl является дополнением в инва-
2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА 1 ГРУППЫ SO (я) 439
риантного подпространства r29t" 1~3. Иными словами, докажем следующее утверждение:
Пространство W11 однородных многочленов степени I от п переменных является прямой суммой подпространства $п1 однородных гармонических многочленов степени I от п переменных и подпространства многочленов вида r2/i(x), /1 (х)
+ (1)
Сначала докажем, что
фв/П^"’ '-* = 0, (2)
т. е. что если /i (х) ? Ш'1’ /-2 и /1(х)^0, то A(r2/i)^0. В самом деле, если /(х) г2 9t"’/-2, то /(х) можно представить в виде /(х) = = r'2kfk (х), где /А (х) ЗГ' /-2/г, 0 k [//2], /А (х) не делится на г2.
Предположим, что Д/=0. Тогда по формуле (4) п. 3 имеем
2k (n + 2l—2k — 2) г2*~3/А + г2* А/* = 0. (3)
Так как k 53 1 и I^ 2?, то k (п -|- 21— 2k — 2) 0. Сокращая на г2*"9,
убеждаемся, что fk делится на г2 вопреки предположению. Тем самым доказано равенство г2 3ftra’1 ~2 = 0.
Теперь докажем, что подпространства iQnl и r3jK'!,/~2 порождают все пространство Для этого вычислим размерности указанных подпространств. Обозначим размерность пространства через г (п, I), Располагая однородные многочлены по степеням хь убеждаемся, что
r(n, l)=r(n— 1, /) —{— г (п 1, / — г (я — 1, 0). (4)
Кроме того, ясно, что
г{\,1) = 1. (5)
Отсюда получаем по индукции
,(» О-(6)
Так как размерность пространства г29Г'/_2 равна размерности
пространства 91"’/_2, a S$nl г2 Ш"’/-2 = 0, то для размерности
h (п, I) пространства fi>nl выполняется неравенство
h (п, /) sg; г (п, 1) — г (п, I — 2). (7)
С другой стороны, многочлен Д/, /? принадлежит пространству 3R"’/-2. Поэтому условие Д/=0 налагает не более, чем r(n, I—2) линейных соотношений на коэффициенты многочлена /(х). Отсюда вытекает, что размерность пространства Sjnl не меньше, чем г (п, /) — г (я, I — 2):
h{n, l)^r(n, l)-r(n, I-2). (8)
440 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
Из неравенств (7) и (8) следует
h(n, l)=r(n, l) — r(n, 1—2), (9)
или, что то же,
dim Qnl = dim 9tn/ — dim = dim Шп1 — dim г® tft"' 1~\ (Ю)
Из соотношений (2) и (10) вытекает, что подпространства jQnl и r2sj{n./-а порождают все пространство и потому равенство (1)
доказано.
Равенство (1) показывает, что представление Tnl (g) группы SO (я) в фактор-пространстве /г2Э1'‘’ 1~‘1 эквивалентно сужению представления L (g) на инвариантное подпространство !$п1. Будем обозначать это представление тем же символом Tnl (g). Однако в тех случаях, когда надо будет различать указанные реализации, будем обозначать реализацию в Jr>nl через Hnl (g).
