Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Виленкин Н.Я. -> "Специальные функции и теория представлений групп" -> 184

Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.

Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп — М.: Наука, 1965. — 588 c.
Скачать (прямая ссылка): specialniefunxiiiteoriyagrupp1965.pdf
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 241 >> Следующая


fш ig) — {Tnl (g) ei, е,).

Ей соответствует функция

?„l($ = (T"l(g)e1, е,), Ъ = &п, (1)

на сфере S'1-1, инвариантная относительно всех преобразований

?(A)cp(|)=cp(r1|))

где h?SO(n—1) (т. е. относительно вращений вокруг оси Охп). Следовательно, гармонический многочлен

фт (х) = г1 срл/ ^

соответствующий функции срл/(|), должен обладать той же инвариантностью.

Как было показано в п. 5 § 2, каждому гармоническому многочлену из пространства l?)nl взаимно однозначно соответствует смежный класс пространства 91"* по подпространству r23Rn’ Но легко видеть, что единственным таким смежным классом, инвариантным относительно вращений вокруг оси Охп, является (с точностью до постоянного множителя) смежный класс х1 -|- г*3\п’Поэтому гармонический многочлен, соответствующий зональной сферической функции срл/(|), является (с точностью до постоянного множителя) гармонической проекцией функции х1. Вычислив эту проекцию по формуле (15) п. 5 § 2, получим

„ , чр (—!)*/(/—!)...(/— 2k + \)r*kxl-2k

Нхп = L ~21*к[(п + 21 — 4) (л + 21 — 6)...(л+ 2/ — 2к — 2) ‘ ^

к —О

' Итак, мы доказали, что зональная сферическая функция представления V11 (g) (с точностью до постоянного множителя) является значением на сфере S"”1 гармонического многочлена Нх1 \

?„/(&) = а„/Я«* =

\И 21

___________(-!)*/(/- l)...(/-2fe+l)___________ г_2А ,

2kk\ (л-)-2/ — 4)(л-)-2/ — 6)... (л 2/ — 2k — 2) л ‘ ( ’

= ат2

Полученное выше выражение для Нх1п можно записать короче

с помощью многочленов специального вида, называемых многочленами

Гегенбауэра. Эти многочлены определяются формулой

(тР Г (р tn) f т (т I) i

^тКЧ — т|Г(р) 2а(р+/п — 1) “г

т (т — I) (т —2) (т — 3) '2«-1-2(р + 1Я—1)(р + /я —2)

т- 4
§ 3] ЗОНАЛЬНЫЕ сферические ФУНКЦИИ 453

Сравнивая формулы (2) и (3), получаем

/!Г (" —К—\ п-2, .

Нх1п =-----....n=^r‘Ci 2 у. (4)

л-2 ,

X п

Равенство (4) показывает, что rlCt 2 yy'j является гармоническим многочленом, принадлежащим пространству jQ>nl.

Из формул (2') и (3) следует

?«® = ».,С,Т (У. (5)

Чтобы найти значение коэффициента Ьп1, положим в равенстве (5) 1 = 1л = (0, 0, ..., О, 1). Из формулы (1) следует, что <рл/(|„) = = (ei> ei)=l- Поэтому имеем

п —2

1 =Л|С,“ 0).

Таким образом, мы доказали, что

?л/С0 = С/Л(и, (6)

Q 2 (1)

2. Дифференциальное уравнение и рекуррентные соотношения для многочленов Гегенбауэра. Чтобы вывести дифференциальное урав-

п ^ /х <

нение для многочленов Гегенбауэра, заметим, что г1Сч 2 \~у\ является гармоническим многочленом, т. е.

д[>С,~(^)] = 0. (1)

Перейдем в этом равенстве к сферическим координатам г, 0, ..., 0„

Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид

4-т (r"1 в-яЬ [

где точками обозначены члены, содержащие производные по переменным ви, Is<.k^n — 2. Поскольку ^=cos0„...i> равенство (1) принимает вид

Л2 д—2 л л —2

Q 2 (cos0„_!) -h (« — 2) ctg 0! -ЗБ—с 2 (cos0/l_1) —j—

ЛА2 W 1J I V* ^‘¦6 V1 /)A

aD/i — L aDn-i l

n— 2

^ -f/(71+/— 2) С * (cos 0„_1) = O.

I
454 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX

Делая в этом уравнении подстановку cos0„_i = ^, п — 2 = 2р, получим дифференциальное уравнение для многочленов Гегенбауэра:

(1 - (О - (2р + 1) t -jy Cf (t) + l(2p +1) Cf (t) = 0. (3)

Из уравнения (3) получается рекуррентная формула для многочленов Гегенбауэра. Продифференцируем обе части равенства (3) п. 1. Сравнивая полученную формулу с аналогичным разложением для С^1, (t), получаем

S-Cpm(t) = 2PCpm±\(t). (4)

Из равенств (3) и (4) вытекает, что

4р(р+ 1)(1 — о с?+| (0 - 2р(2р + 1) tCP±\(0 +

+ /(2/>+/)CJ(9 = 0. (5)

Отметим еще, что из формулы (4) вытекает соотношение

dk пр га _ 2* г (^ + *) рР+* ('fi'l

Другую рёкуррентную формулу для многочленов Гегенбауэра выведем, исходя из равенства (4) п. 1. Перепишем это равенство в виде
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 241 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed