Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
к = О
где Л (х) — однородный многочлен степени I—2 от п переменных, а hk(x’) — однородный гармонический многочлен степени k от tt—1 переменного-
§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА 1 ГРУППЫ SO (л) 445
Чтобы доказать равенство (7), покажем сначала, что
i
г (п, l) = r(n, I— 2)-f 2 h(n— 1, k), (8)
ft = 0
где, напомним, г (п, I) — размерность пространства a h (п— 1, k) — размерность пространства ~ ’• *. По формуле (9) п- 4 имеем
h (ti—1, k)=r(n—1, k) — r (ti—1, k—2).
Поэтому
i i
2 h(n— 1, k)= 2 [r(n — 1, k) — r (ti — 1, k —- 2)] = ft = 0 ft = 0
= r(n—\, l)~\-r(n—l, I—I), (9)
где положено r (ti—1, —1 ) = r(n — 2, —2) = 0. Применяя формулу (11) п. 4, получаем
i
r(n, I—2) -|- ^ h(n—\, k)=r(n, I—2) -)- r (ti — 1, 0 + ft = 0
¦ (Я + /-3)! , (Я + /-2)! , (Я + /-3)!
“r K ; (n — \)\(l — 2)\ 1 (n— 2)\1\ “Г (n — 2)! (/ — 1)! “
—тй5тг=г <10>
Тем самым соотношение (8) доказано.
Теперь покажем, что подпространства и * ^л ~ ’• *,
порождают все пространство Пусть /(х) ^ Тогда многочлен /(х) можно представить в виде
/ (х) = г2/7 (х) -f ©j (х') -f ср2 (х'), (11)
где
г2 = Хп, х=(х1,...,хп^1),
F(x)?mn-l~2, ср, (х') ? Этл -- 1 и cps(x')G^B_I,/-
Применив к многочленам ср, (х') и ср2 (х') каноническое разложение (см. п. 6), получим
И . чт
f(x)=r*F(x) + 2 V»-,*/-»*-, (х') + 2 ^-Л-мОО-ОЗ)
ft = 0 ft = о
где r? _ 1 = л:,2 -|-...-|— xl _ г и (х') -5-
Заменим в формуле (12) r?_ i на г2 — Хл, раскроем скобки и
отнесем все члены, содержащие г2, к первому слагаемому. Мы по-
лучим
f(x) = r% (х) + S hk (х'), (13)
ft = о
446 ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IX
где/! (х) ? 9ЧЛ’1 ~2 hk (х') - •> h(hk (х') лишь знаком отличается
от hk(x') в разложении (12)).
Мы доказали, таким образом, что подпространства г2Э1л>/ — 2 и хl~k$n~ l,k, O^k^l порождают все пространство 9tn/. Поскольку раньше было показано, что размерность равна сумме размерностей указанных подпространств, то разложение
i
w* -2 + 2 xl~k$n - '• * ft =0
доказано.
Выше отмечалось, что из этого разложения вытекают следующие утверждения:
1) Пространство ЭТл//г2^л’1 ~2 является прямой суммой подпространств Э(л/* (образа х1~ к$?п~1-к при отображении Шп1 на
тп1/г2тп-1-2)
i
sR«yfasR«.>/-3 = 2 %п1к.
* = о
2) Сужение представления Tnl(h), h SO (п—1) на подпространство Шп1к эквивалентно Tn~l-k(h), O^k^l.
9. Инфинитезимальные операторы представления Tnt (g).
В следующем пункте докажем неприводимость представлений Tnl (g) группы SO(n). Нам будет удобно иметь при этом дело не с самими операторами Tnl (g), а с инфинитезимальными операторами.
Обозначим через Ajk инфинитезимальный оператор представления Tnl (g), соответствующий подгруппе Qjk вращений в плоскости (ху, хк). Будем считать, что представление Tnl (g) реализовано в пространстве i?>nl‘ однородных гармонических многочленов. В этом случае оно задается той же формулой
Т-"'&)/(*) =/Gf1x), (1)
что и представление L(g) в пространстве йа(5"-1). Поэтому инфинитезимальные операторы этих представлений также задаются одними и теми же формулами.
Обозначим через gJk (ср) вращение на угол ср в плоскости (xj, xk). Оператор L[gjk (ср)] переводит функцию /(х)=/(хи ... , хп) в
Ifo(?)]/(x)=/fe(-T)x] =
=/(atj, ..., Xj cos cp —|— xk sin cp,..., — xj sin cp -\-xk cos cp,... , xn). (2) Поэтому инфинитезимальный оператор представления L (g) имеет вид
_ dL [gjk (?)]
д д
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА I ГРУППЫ SO (л)
447
Тот же вид имеют инфинитезимальные операторы представлений Lnl (g) (в пространстве и Tnl (g) (в- пространстве ф"1).
Из равенства (3) вытекает, что Aj'k = —AkJ-. Далее, из той же формулы следует, что если /<^k, p<^q, то
[Ajk, Apg] = bkpAjg, (4)
где [Ajk, Apq\ = AjkApq — ApqAjk — коммутатор операторов Ajk и Apq> a Kp — символ Кронекера.
10. Неприводимость представлений Tnt (g). Теперь мы уже можем перейти к доказательству неприводимости представлений Tnl (g) группы SO(ri) при 3.
Заметим, что при п = 2 представление Tnt (g) приводимо — оно является прямой суммой двух одномерных представлений. В самом деле, из формулы (11) п. 5 следует, что h (2, /) = 2, т. е. что 7*fe) — двумерное представление. Так как группа SO(2) коммутативна, то ее неприводимые представления одномерны (см. п- 3 § 3 главы I). Следовательно, Т11 (g) является прямой суммой двух неприводимых представлений.
